等比数列的前n项和是什么?

Question

如题所述

Answer 1

等比数列的前n项和公式为：

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

其中，$a_1$ 是等比数列的首项，$q$ 是等比数列的公比，$n$ 是项数。

等比数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的固定倍数。这个固定倍数被称为公比。等比数列的前n项和公式允许我们快速计算数列的前n项的总和。

公式的推导基于等比数列的性质。首先，我们考虑等比数列的前n项：$a_1, a_1q, a_1q^2, ..., a_1q^{n-1}$。为了找到这些项的和，我们可以将每一项都乘以公比$q$，得到新的数列：$a_1q, a_1q^2, ..., a_1q^n$。

现在，我们将原始数列和乘以公比后的数列相加，得到：

$S_n + S_nq = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-1} + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^n$

由于两个数列的对应项相加都是$a_1q^n$，所以相加后的数列的和为：

$S_n(1 + q) = a_1(1 - q^n)/(1 - q)$

最后，我们解出$S_n$，得到等比数列的前n项和公式：

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

需要注意的是，当公比$q$等于1时，公式中的分母为0，此时数列变为常数数列，前n项和直接为$na_1$。

例如，考虑等比数列2, 4, 8, ...，其中首项$a_1 = 2$，公比$q = 2$。要找到这个数列的前3项和，我们可以使用公式：

$S_3 = \frac{2(1 - 2^3)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 8)}{-1} = \frac{-14}{-1} = 14$

因此，这个等比数列的前3项和为14。