换元法的分解因式

Question

如题所述

Answer 1

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。
【例】在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x²+x+5)(x²+x-2)　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程。
解高次方程
有时在解方程时，可以选择方程中的相同的部分换成另一个未知数，达到降次的目的，然后进行新方程求新未知数，最后再转换回来求原未知数，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。
【例】解方程（x²-2x）²-3（x²-2x）-4=0
解：设x²-2x=y，则原方程变为y²-3y-4=0
(y-4)(y+1)=0
y-4=0或y+1=0
y1=4 y2=-1
当y=4时，x²-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5
当y=-1时，x²-2x=-1解得x1=x2=1
所以，原方程的根为x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1