1、事件A、B、C相互独立，证明：A并B 、A-B 和 AB 均与C独立 2、设随机变量X的分布函数F（x）=P（X<x）

Question

对于一切x属于k 试用F（x）表示下列事件的概率
(1)P(a<X<b）(b>a) P(X>a) P(X=a) P(X>=a)
(2)P(x<a) P(a=<x<b) P(a<x<b) P(a<x=<b)
3、设（X，Y）iid（独立同分布）X~N(01^2) 设X=PcosA Y=PsinA P>=0 A属于[0,π]
求1.(P,A)的p.d.f（联合概率密度函数分布）2.证明P、A相独立
4、设X 、Y相独立，均为拉姆达=1的指数分布。令u=X+Y、v=X/Y 求（u、v）的p.d.f及M.p.d.f（边缘密度函数）
5、设X、Y独立 X~b(n，p) Y~N(μ，cida^2) 求Z=X+Y的p.d.f

Answer 1

1.由相互独立性，得到P(A+B+C)=P(A)P(B)P(C)=P(A+B)P(C),同理有P(A+B+!C)=P(A+B)P(!C),因此A+B与C独立，这里!C表示C不成立。
同样的方法，可以得出A-B,AB都和C独立。

2.P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<=a)=F(b)-lim(x->a+0)F(x)
P(a<X)=1-P(X<=a)=1-lim(x->a+0)F(x)
P(a=X)=P(X<=a)-P(X<a)=lim(x->a+0)F(x)-F(a)
P(X<a)=F(a)
P(a=<x<b)=P(x<b)-P(x<a)=F(b)-F(a)
P(a<x=<b)=P(x<=b)-P(x<=a)=lim(x->b+0)F(x)-lim(x->a+0)F(x)

3.(X,Y)是二元正态分布，那么f（P,A）=Pe^(-P^2/2)/2pi，f(P)=Pe^(-P^2/2), f(A)=1/2pi,f(P,A)=f(P)f(A),因此PA相互独立

4.f(x,y)=e^(-x-y), dudv=dxdy(x+y)/y^2=(1+v)^2/u, f(u,v)=u/(1+v)^2*e^(-u),积分后得到f(u)=u/e^u, f(v)=1/(1+v)^2

5.f(z)=(求和i=0~n)f_y(z-i)P(x=i)
其中P(x=i)=p^i*(1-p)^(n-i)
f_y(z-i)=e^(-(z-i-μ)^2/2/cida^2)/根号2pi/cida