极值点的条件？

Question

如题所述

Answer 1

1.极值点的必要条件：
可导性：函数在极值点附近必须是可导的，即函数在该点存在定义并且斜率有限。这是因为极值点是函数图像上的拐点，要求函数图像在该点附近是光滑的。
一阶导数为零：函数在极值点的一阶导数为零，即切线与x轴重合或平行。这是因为切线的斜率代表了函数的增减趋势，而极值点处切线的斜率为零，表示函数在该点的增减趋势发生了改变，从上升变为下降或从下降变为上升。
二阶导数为正负：函数在极值点的二阶导数必须存在且符号相反，即函数曲线在该点的弯曲方向发生了改变。当二阶导数大于零时，函数曲线在该点处向上凸起，表示函数由减小转为增大；当二阶导数小于零时，函数曲线在该点处向下凹陷，表示函数由增大转为减小。
2.极值点的充分条件：
驻点性质：如果函数在极值点附近满足一阶导数为零且二阶导数存在，那么该点就是极值点。这是因为一阶导数为零意味着函数的增减趋势发生了改变，而二阶导数的存在保证了函数曲线弯曲方向的改变，从而确定了极值的位置。
二阶导数的正负：根据二阶导数的正负可以确定极值的类型。当二阶导数大于零时，极值点为局部极小值；当二阶导数小于零时，极值点为局部极大值。
3.极值点的判定方法：
求解导数：通过求解函数的一阶导数，找出一阶导数为零的点，即可能的极值点。
二阶导数的符号：计算一阶导数对应的二阶导数，并确定其符号。若二阶导数大于零，则该点为极值点的候选；若二阶导数小于零，则排除该点。
极值点的类型判断：根据二阶导数的符号判断极值点的类型，即局部极小值或局部极大值。追答

1.极值点的必要条件：
可导性：函数在极值点附近必须是可导的，即函数在该点存在定义并且斜率有限。这是因为极值点是函数图像上的拐点，要求函数图像在该点附近是光滑的。
一阶导数为零：函数在极值点的一阶导数为零，即切线与x轴重合或平行。这是因为切线的斜率代表了函数的增减趋势，而极值点处切线的斜率为零，表示函数在该点的增减趋势发生了改变，从上升变为下降或从下降变为上升。
二阶导数为正负：函数在极值点的二阶导数必须存在且符号相反，即函数曲线在该点的弯曲方向发生了改变。当二阶导数大于零时，函数曲线在该点处向上凸起，表示函数由减小转为增大；当二阶导数小于零时，函数曲线在该点处向下凹陷，表示函数由增大转为减小。
2.极值点的充分条件：
驻点性质：如果函数在极值点附近满足一阶导数为零且二阶导数存在，那么该点就是极值点。这是因为一阶导数为零意味着函数的增减趋势发生了改变，而二阶导数的存在保证了函数曲线弯曲方向的改变，从而确定了极值的位置。
二阶导数的正负：根据二阶导数的正负可以确定极值的类型。当二阶导数大于零时，极值点为局部极小值；当二阶导数小于零时，极值点为局部极大值。
3.极值点的判定方法：
求解导数：通过求解函数的一阶导数，找出一阶导数为零的点，即可能的极值点。
二阶导数的符号：计算一阶导数对应的二阶导数，并确定其符号。若二阶导数大于零，则该点为极值点的候选；若二阶导数小于零，则排除该点。
极值点的类型判断：根据二阶导数的符号判断极值点的类型，即局部极小值或局部极大值。

Answer 2

你的问题基本可以说就是些概念性的问题，仔细看教材的话应该不成问题。我给你简单区分和解释一下：
首先，极值点是一个函数的局部性质，具体说是如果拿函数在此点的值与此点的一个小邻域内的其他值比较，取到最大或者最小，相应的就是极大值和极小值。这一概念与函数本身的可导性是没有关系的。但是对于一般的可微函数来讲，一阶导数为零的点往往就是一个极值点，但是也不是绝对的，比如f(x)=x^3，x=0并不是一个极值点。一般我们把f'=0的点叫做驻点，极值点只有两种情况，要么是驻点，要么是不可导点。反之，是不对的，不可导点或驻点不一定是极值点。
其次，拐点是函数图象凸凹性（有教材称为上凸和下凸）发生变化的点，所以叫做拐点，它与极值点没有本质上的关系，反应的是两个不同的数学性质。与极值点类似，拐点也是由两类点组成的：一是二阶导数为零的点，二是二阶导数不存在的点。