多元函数求偏导，求导，微分区别？

Question

根据如下题目来说
图一11题，F'x的时候，即F对x求偏导的时候，z看作了常数，尽管z里面有x,y
图二14题。也是一样，两边对x求偏导，但却将z里面的x也细化出来了
可我查了一下，如图三，红线和红线下一行，引出我两个疑问
疑问一、多选函数我一直认为只有求偏导和求微分，难道还有求导吗？？
疑问二、如果1、成立，那11题和14题是求导还是求偏导啊，我迷糊了。

感觉好乱
1.多元函数究竟有没有求导，还是仅仅有偏导和求微分
2.这11和14题究竟是咋回事
3.求导(如果有的话)，求微分，求偏导究竟有什么区别？啥时候对x导，z看做常数，啥时候对x导，遇到z也要φ'z然后再乘一个z对x的导
4.一般啥时候用偏导，用导数，啥时候用微分啊

PS：之前做汤家凤1800很模糊没有区分过，现在做张宇1000发现有几个题不整明白这些我根本做不出来诶。之前一直认为的，对多元函数某自变量求偏导则其他自变量看做常数，可这样一看，其他自变量没有看做常数反而还把他里面的变量给表示出来了啊，求求大佬们帮帮忙解答一下吧？

【⭐找到一个其他问题下的回答https://zhidao.baidu.com/question/925270542767974979.html
@数学刘哥，解答很不错，看的大概会了，谢谢】

Answer 1

多元函数没有求导，只有偏导
红线那行，由于所有f的自变量都是t的函数，你可以把f看成t的一元复合函数，因此它只有导数，没有偏导
所以你要注意函数“类型”的变化，是多元变量还是单元变量是看变量是哪些决定的追问

谢谢懂了，那两个最重要的问题没解释啊大佬，11题和14题

同样都是对x偏导，为啥一个是【z变量当常数】，另一个是【变量z的隐函数关系细化出来，还要z对x】

追答

第一个是啥第二个是啥？

追问

？？我不问在了问题里吗

都写到问题里了啊

你看图一图二啊，你直接回答的是图三

追答

我看不出异常了啊，不知道你不明白哪块啊？
这两个题目当然都是求偏导啊

追问

等下我给你重写一下

大佬你看，这个图，z里有x,y，但对x求偏导时，z看做了常数，对吧？

上面的11是解答，下面的11是题目

而这个图↓

依旧是求偏导，z里依旧有x,y，可是呢！他没有把x看做常数，隐函数关系都表示出来了

追答

z=f(x,y)是x，y的二元函数，对z的求x偏导当然不能把x当作常数啊

追问

？最后一个字母是z吧

那也不对啊，那为啥上面11题，z＝z(x,y)是x,y二元函数，对x求偏导把z当做常数了

而14题！z＝f(x,y)是x,y的二元函数，对x求偏导，把z却不是常数！

追答

唉，这个一时不知道怎么解释

追问

我好像知道了

Answer 2

aron大神说的很对。多元函数，确确实实只有偏导数。除非，不同的变量都有统一的关系。
微分的话，可以理解为自变量x和y增加的一个小部分△x和△y，结果，因变量z也增加了一个小部分△z。这个准确值要用变化后的值z2去减变化前的准确值z1。也就是z2－z1＝△z＝f（x2，y2）－f（x1，y1）。由于在很小很小的情况下，这个值近似等于∂z1/∂x1△x
+∂z2/∂x2△y。所以，就用这个式子去进行代替了。
希望我的回答对于你有帮助。
这个微分式子的升级版本，就是二元和多元函数的泰勒公式。