在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.（1）若B=60°，求角A,B,C的大小；（2...

Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.（1）若B=60°，求角A,B,C的大小；（2）sinA+sinC的取值范围

Answer 1

（1）
a,b,c成等比数列
那么b^2=ac

若B=60º, 根据余弦定理
b^2=a^2+c^2-2accosB
∴ac=a^2+c^2-ac
即(a-c)^2=0
所以a=c
那么三角形为等腰三角形，
又顶角B=60º,
∴A=B=C=60º

(2)
C=180º-B-A=120º-A
∴0<A<120º
sinA+sinC
=sinA+sin(120º-A)
=sinA+sin120ºcosA-cos120ºsinA
=3/2sinA+√3/2cosA
=√3(√3/2sinA+1/2cosA)
=√3sin(A+30º)
∵0<A<120º ∴30º<A+30º<150º
∴1/2<sin(A+30º)≤1
∴√3/2<√3sin(A+30º)≤√3
即sinA+sinC的范围是(√3/2,√3]

Answer 2

1. 由已知 b^2=ac sinB=5/13 则 B是锐角 且cosB=12/13
化弦化简 cotA+cotC=...=sinB/(sinAsinc)
=(13/5)*(sinBsinB)/(sinAsinC)=(13/5)*(b^2)/(ac)=13/5
2. AB向×BC向=ac(cos(π-B))=(-12/13)ac=-12
得 ac=13
由（1） b^2=ac cosB=12/13
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2ac cosB
将上3个条件代入得 a^2+c^2=37 （a+c)^2=37+26=63
所以 a+c=3√7