隐函数求导怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

以二元函数f(x，y) = 0 ----- (1) 

为例，设 y 是 x 的函数，且 f(x，y) 的两个偏导数：∂f/∂x 和 ∂f/∂y 都存在。

那么 y 对 x 的导数 ：            

dy/dx = y' = -(∂f/∂x) / (∂f/∂y) ----- (2)    

此即隐函数存在定理。

它可以理解为：

先求(1)式： f(x，y)=0 的全微分

df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = 0 ----- (3)

再由(3)式解出(2)式：

dy/dx = y' = -(∂f/∂x) / (∂f/∂y) ----- (2)    

这种算法可作为隐函数存在定理的通俗解释，对更多元的函数也是类似的算法。利用多元函数的全微分表达式解出y' 和 Z'x、Z'y 的导数和偏导数，同时也是对隐函数存在定理的通俗解释。

扩展资料：

推理过程

一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程

 中，作为这方程的一个解（函数）。例如

如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）。

如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=(x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。

微分学中主要考虑函数z=F(x，y)与y=ƒ(x)都连续可微的情形。这时可以利用复合函数的微分法对方程(1)直接进行微分：