为什么奇函数定积分是0？

Question

x轴上方是正的 下方是负的 所以是0 但sinx 0到2pai 的上下方不也可以抵消吗 为什么sin的定积分不是0
为什么sinx 0到pai 的定积分 一定要变成 2∫0 pai/2 sindx 这样算 如果不变就变成0

Answer 1

奇函数定积分是零的条件是积分域关于原点对称，sin比较特别，是周期函数，积分域关于kπ对称都是零。

特点：

1、奇函数图象关于原点对称。

2、奇函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为奇函数。

3、若为奇函数，且在x=0处有意义。

4、设在定义域上可导，若在上为奇函数，则在上为偶函数即对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)。

扩展资料：

“古代几何学家，更确切地说 是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”。

其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰· 伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言。

参考资料来源：百度百科-奇函数

Answer 2

奇函数是一类具有特殊性质的函数，其定义是 f(-x) = -f(x) 对于函数的定义域内的所有 x 都成立。简单来说，当 x 变为相反数时，奇函数的函数值变为原函数值的相反数。举例来说，一个常见的奇函数是 f(x) = x，因为 f(-x) = -(-x) = x。

奇函数的定积分在对称区间上的值是0，这是因为在对称区间上，正负函数值的面积相互抵消，导致定积分为0。

形式化地来说，对于一个奇函数 f(x)，在区间 [-a, a] 上的定积分可以表示为：

∫[a, -a] f(x) dx
由于奇函数的特性 f(-x) = -f(x)，我们可以进行变量替换，令 u = -x，那么 du = -dx。同时，当 x = a 时，u = -a，当 x = -a 时，u = a。因此，上述定积分可以转化为：
∫[-a, a] -f(u) du
由于奇函数的性质 f(-x) = -f(x)，可以得知 f(u) = -f(-u)。因此，定积分可以进一步简化为：
-∫[-a, a] f(-u) du
在对称区间 [-a, a] 上，被积函数 f(-u) 与 f(u) 具有相同的绝对值，但符号相反。这意味着它们在该区间上的面积相互抵消，导致定积分结果为0：
-∫[-a, a] f(-u) du = 0
所以，奇函数的定积分在对称区间上是0。本回答被网友采纳

Answer 3

奇函数是指满足 f(-x) = -f(x) 的函数，即函数关于原点对称。奇函数的定积分在对称区间上的值总是为零。

这可以通过定积分的性质来解释。定积分可以理解为曲线下的面积，而奇函数的特点是曲线关于原点对称。因此，对于奇函数在对称区间上的定积分，正值和负值的面积会互相抵消，导致总的定积分为零。

具体来说，对于一个奇函数 f(x) 在对称区间 [-a, a] 上的定积分，我们可以将其分成两个部分进行计算：

∫[-a, a] f(x) dx = ∫[-a, 0] f(x) dx + ∫[0, a] f(x) dx

由于奇函数的性质，f(x) 和 -f(x) 在对称区间上的面积相等，即：

∫[-a, 0] f(x) dx = -∫[0, a] f(x) dx

因此，两个部分的面积相互抵消，定积分的结果为零：

∫[-a, a] f(x) dx = ∫[-a, 0] f(x) dx + ∫[0, a] f(x) dx = -∫[0, a] f(x) dx + ∫[0, a] f(x) dx = 0

这就是为什么奇函数的定积分在对称区间上的值为零。

Answer 4

在对称区间[- a，a]上，被积函数为奇函数，以对称区间端点为积分上下限的定积分所形成的图像正负面积抵消，故有定积分结果等于0。关于sinx的定积分，你动手算算看，对不对？本回答被网友采纳

Answer 5

奇函数定积分是零的条件是积分域关于原点对称，sin比较特别，是周期函数，积分域关于kπ对称都是零