求函数极值时 判定一个驻点是不是极值时 定理2(第一充分条件)和定理3(第二充分条件) 有什么区别

Question

为什么用定理3时 当二阶导函数等于0时 还不能判定Xo不是极值点? 那么做题目时直接用定理2不是更方便吗？如果用定理3可能还要做二步判定 而用定理2只需要一步 那为什么还需要定理3呢？

Answer 1

1、一阶导数=0，二阶导数=0的时候，当然有可能不是极值点，
比方说f（x）=x³这个函数，f'（0）=0，f''（0）=0，一阶导数和二阶导数都是0，但是x=0不是这个函数的极值点，这个函数在R上都是单调递增的，没有极值点。
所以有这样的反例，一阶导数和二阶导数都是0就无法说明一定是极值点。
2、至于为什么要有这样两个，甚至更多个判断定理，当然是各自使用的情况不一样。
有的函数，二阶导数不为0，且容易得出来，那么就直接针对该点求一阶导数和二阶导数即可判断。没必要去求左右邻域内的导数并判断符号。这时候就用定理3
有的函数，在判断的点处没有二阶导数或一、二阶导数都没有，那么就无法用定理3，或者在判断点处一阶导数和二阶导数都是0，也无法用定理3，这时候，就只好用定理2来做了。
关键是，所谓好不好用，不是看所谓的“一步到位”。
定理2，虽然是“一步到位”，但是不能只判断该点一个点的导数，必须判断左右邻域内的导数。真要做起来，未必多简单方便。
定理3，虽然没有“一步到位”，但是只针对判断点一点进行分析，没有考虑其他的东西。所以未必就不方便。