高数达人请进！什么是化定积分方法求极限？

Question

高数课本没介绍，但是这种方法经常用到。请问具体是什么？
具体例子如下：

..........n
lim1/n ∑ sin(kπ/n） = s【0，1】sinπxdx
n→∞..k=1

问，已知左边怎么变出右边？
是不是k/n变成x，加上dx，那积分上下限是怎么变过来的？极限的形式是不是一定要凑出1/n？

Answer 1

用定积分求极限，一般是求某些和式的极限，将和式极限划归为一个定积分，其依据是定积分的定义及可积函数的性质。我们知道定积分是特殊和式的极限，和式中有函数、有区间长度、有小区间中任意取的点，这些小区间的划分方式、任意点的选取都是任意的，比较复杂；另一方面，我们知道，连续函数在其连续的区间上是可积的，也就是定积分是存在的，这种存在了的定积分当然也可以用和式的极限表示出来，这里我们对小区间及其中的点选取一种特殊的取法：将区间n等分（或n-1等分）、小区间中的点选择区间端点，这样得到的和式其极限也应该等于定积分。我们看到的这类问题，一般已知的是和式极限，将其化为定积分有一定技巧，需逆向思维，在转化的过程中，关键要将和式中的每项化出一个1/n的因式，对于本题1/n已经有了，剩下的第k项为sin(kπ/n),被积函数可以是sinπx，也可以是sinx，如果你觉得不容易掌握的话，就将k/n作为x，由于k的变化范围是1->n，所以k/n的变化范围应该是1/n->1。因n趋于无穷，故1/n趋于0，于是可知积分区间是[0,1],极限可以化为sinπx在[0,1]上的定积分。（你可以倒过来化一下试试，将区间等分，用定义将sinπx表示成和式极限，那个克c取小区间的端点）。

注：如果将kπ/n作为x，那么被积函数就是sinx，积分区间变为[0,π]

Answer 2

例如xn＝1/(n+1)＋1/(n+2)＋1/(n+3)＋……＋1/(n+n)的极限，一开始学极限的时候碰到这个题目一般要考虑用夹逼准则，但是只能得到极限值在1/2到1之间的结果，求不出极限.

xn＝1/(n+1)＋1/(n+2)＋1/(n+3)＋……＋1/(n+n)＝1/n×[1/(1+1/n)＋1/(1+2/n)＋1/(1+3/n)＋……＋1/(1+n/n)]＝∑[1/(1+i/n)×1/n]，i从1取到n.

从最后的和式可以看出，当n→∞时，极限就是定积分∫(0→1) ln(1+x)dx

Answer 3

就是N无限趋近与正无穷大
高中课本是这么说的

Answer 4

就是把求极限转化为求定积分啊．
比如把求数列和的极限转化为求某函数在某区间上的定积分
考研或者什么别的高数辅导书上就有介绍，去图书馆看看啊