高数 利用定积分求极限

Question

如题所述

Answer 1

详细解说图片如下：

Answer 2

原极限=limy(n)=lim[(1+1/n)(1+2/n)....(1+n/n)]^(1/n)
lny(n)= (1/n)(ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+....+ln(1+n/n)]
考虑[0,1]的函数y=ln(1+x),等分n小区间，取右端点，
(1/n)(ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+....+ln(1+n/n)]
=∫(0,1)ln(1+x)dx
=∫(0,1)ln(1+x)d(x+1)
=[(x+1)ln(x+1)-(x+1)]|(0,1)
=2ln2-1
limy(n)=e^(2ln2-1)=4/e