如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点

Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF∥AB。

Answer 1

过C作SR//AB分别交AM的延长线于R，交BN的延长线于S

连接AS，设AS的中点为T，连接FT、ET

∵SR//AB

∴∠R=∠RAB=∠RAC

∴AC=CR

∵SR//AB

∴∠RCB=∠CBA=∠ACP

又∵∠R=∠RAC，AC=CR

∴ △CRM≌△CAP

∴AP=MR

∵PE=EM

∴EA=EP+PA=EM+MR=ER

∴E是AR的中点

又∵T是AS的中点

∴  ET是△ARS的中位线

∴  ET//SR//AB……………………①

同理，FT是△SBA的中位线

∴ FT//AB…………………………②

由①和②可得：E、F、T三点共线

∴ EF//AB

注意认真领会我的解题套路，我做辅助线的方式方法，对你以后的解题是很有帮助的

Answer 2

证明：

连接CF、FH，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN，
又∵CH⊥AB，
∴∠CQN=∠BQH=90°-∠ABN=90°-∠CBN=∠CNB，
∴CQ=NC．
又F是QN的中点，
∴CF⊥QN，
∴∠CFB=90°=∠CHB，
∴C、F、H、B四点共圆．
又∠FBH=∠FBC，
∴FC=FH，
∴点F在CH的中垂线上，
同理可证，点E在CH的中垂线上，
∴EF⊥CH，
又AB⊥CH，
∴EF∥AB．

如果没学四点共圆

可附加证明

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）

证明：用反证法

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，

若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，

∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C

这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

Answer 3

数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。

在△QBH中，∠QBH+∠BQH=90°； 在△NBC中，∠NBC+∠CNB=90°，
因∠QBH=∠NBC，故：∠BQH=∠CNB，而∠BQH=∠CQN，故：∠CNB=∠CQN，
QN的中点F，故：CF⊥NQ，又CH⊥AB，因此C、F、H、B四点共圆．
又∠FBH=∠FBC，得FC=FH，故：点F在CH的中垂线上；同理可证，点E在CH的中垂线上，
故：EF⊥CH，又AB⊥CH，
所以：EF∥AB．

祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)