数学高手来

Question

若f(x)=lg(x^2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的范围是
过程

Answer 1

若f(x)=lg(x^2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,
因为lgx是增函数
则x^2-2ax+1+a 在区间(-∞,1]上递减,
x^2-2ax+1+a
=(x-a)^2+1+a-a^2
所以:
对称轴x=a>=1,
x^2-2ax+1+a在区间(-∞,1]恒大于0
在x=1时,x^2-2ax+1+a为最小值=1-2a+1+a>0

解得:
1<=a<2

Answer 2

首先函数要有意义，所以 （2a）^2-4(1+a)<=0
然后由于函数在(-∞,1]上递减，所以x^2-2ax+1+a在(-∞,1]递减，自己画个图，有对称轴a>=1
综合上面的，所以1=<a<=(1+根号3）/2

Answer 3

lg是一个递增函数，所以只需（x^2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]递减，且（x^2-2ax+1+a)>0
由（x^2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]递减，可知a>=1
由（x^2-2ax+1+a)>0，
x^2+1>(1-2x)a通过分段比较:
1/2<x<=1时a<2
x<1/2时a>1
可以得出2>a>1
所以有2>a>1