特征值的乘积是什么？

Question

如题所述

Answer 1

特征值的乘积：特征值乘积等于对应方阵行列式的值，特征值的和等于对应方阵对角线元素之和。

拓展知识：

特征值，是线性代数中的一个重要概念，是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值(characteristicvalue)或本征值(eigenvalue)。

特征值是指设是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量，使得成立，则称是的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量或本征向量，简称的特征向量或的本征向量。

设为n阶矩阵，若存在常数及n维非零向量，使得，则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量。A的所有特征值的全体，叫做的谱，记为A。

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：其中和为矩阵。其广义特征值（第二种意义）可以通过求解方程，得到（其中即行列式）构成形如的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若可逆，则原关系式可以写作，也即标准的特征值问题。当为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为矩阵未必是对称的。

求n阶矩阵的特征值的基本方法：根据定义可改写为关系式，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。解此行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。