方程X1+X2+X3+X4=20共有——组正整数解？

Question

如题所述

Answer 1

方程X1+X2+X3+X4=20共有——组正整数解？

公式：方程 x1+x2+x3+x4=n (n ≥ 4) 的正整数解组数 C(n-1，3) = (n-1)(n-2)(n-3)/6 。
自然数解组数 C(n+3，3)=(n+3)(n+2)(n+1)/6 。
本题中，把 n = 20 分别代入，可得 969 和 1771 。

X1+X2+X3+X4=100,X1,X2,X3,X4为正整数解的组合n=？

可以转化为排列组合的问题。
相当于有100个球，在中间隔三块板，将其分成4份，
所以共有C(3,99)=99*98*97/6=156 849种解法

X1+X2+X3+X4=12　　求正整数解和自然数解。

x1 x2 x3 x4
1 2 3 6
1 2 4 5
0 1 2 9
0 1 3 8
0 1 4 7
0 1 5 6
0 2 3 7
0 2 4 6
0 3 4 5

不定方程x1+x2+x3=100的正整数解共有几组

将100进行因式分解100=4*25*1=2*2*5*5*1=2*2*25*1=4*5*5*1100=1*100有2个或3个

确定以下方程的整数解数目：x1+x2+x3+x4=32。其中x1,x2≥5,x3,x4≥7。

20*1+19*2+18*3+...+1*20+21

方程X1+X2+X3+X4=30有多少满足x1≥1,x2≥0,x3≥-4,x4≥6的整数解？ 急求，多谢！

解：只有-4最小，所以其它只能最大30+4=34
有4060个。
用basic程式解的。清单如下：
CLS
k = 0
FOR x1 = 1 TO 34
FOR x2 = 0 TO 34
FOR x3 = -4 TO 34
FOR x4 = 6 TO 34
m = x1 + x2 + x3 + x4
IF m = 30 THEN k = k + 1
NEXT
NEXT
NEXT
NEXT
PRINT k
END
数学解法：（悲剧了，发现x4>=6忘记了，你重新自己修改下吧。 ）
x1=1, x2=0, x3,x4 有x3+x4=29,x3=-4 x4=33,x3大1，x4小1，则有29+4=33种解。
x1=1, x2=1,同上 x3+x4=28, 有 28+4=32种
...
x2=33，x3=-4，x4=0 1种，
x1=1 ,共有33+32+31+...+1=561种
x1=2, x2=0, x3+x4=28 ,32种，同上共有32+31+..+1=528种
....
x1=33,x2=0,x3+x4=-3,2种
x1=34, 1种
数列为（34个元素）：561,528,496....a（n+1）=an-34+n.（n=1，2，......32，33）
总数为：561+528+...=1+2+4+7+11+16+22....+528+561
反过解好了,从X1=34 算到X1=1，就是1+2+4+....+528+561
a（n+1）=an+n-1，这个就好算了。略去具体。
悲剧，发现x4>=6忘记了，晕，实在不想重新来过。你自己重新修改下吧。
参考公式：
a1=1,a2=2,a3=4,a4=7....
a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
...
an-a(n-1)=n-1
以上各式相加得:an-a1=1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2
故an=n(n-1)/2+1=n^2/2-n/2+1
S=(1^2+..+n^2)/2-(1+2+...+n)/2+n
=n(n+1)(2n+1)/12-(1+n)n/4+n
=（n^3+5n)/6

求不定方程X1＋X2＋X3＋3X4＋3X5＋5X6＝21的正整数解的组数

解：因为是正整数解
所以：1<=x<=8
正整数解如下：
x1=1, x2=1, x3=2,x4 =1,x5=3,x6=1
x1=1, x2=1, x3=2,x4 =2,x5=2,x6=1
x1=1, x2=1, x3=2,x4 =3,x5=1,x6=1
x1=1, x2=1, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=1, x2=1, x3=5,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=1, x2=1, x3=5,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=1, x2=1, x3=8,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=2, x3=1,x4 =1,x5=3,x6=1
x1=1, x2=2, x3=1,x4 =2,x5=2,x6=1
x1=1, x2=2, x3=1,x4 =3,x5=1,x6=1
x1=1, x2=2, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=1, x2=2, x3=4,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=1, x2=2, x3=4,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=1, x2=2, x3=7,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=3, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=1, x2=3, x3=3,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=1, x2=3, x3=3,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=1, x2=3, x3=6,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=4, x3=2,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=1, x2=4, x3=2,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=1, x2=4, x3=5,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=5, x3=1,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=1, x2=5, x3=1,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=1, x2=5, x3=4,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=6, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=7, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=1, x2=8, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=1, x3=1,x4 =1,x5=3,x6=1
x1=2, x2=1, x3=1,x4 =2,x5=2,x6=1
x1=2, x2=1, x3=1,x4 =3,x5=1,x6=1
x1=2, x2=1, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=2, x2=1, x3=4,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=2, x2=1, x3=4,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=2, x2=1, x3=7,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=2, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=2, x2=2, x3=3,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=2, x2=2, x3=3,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=2, x2=2, x3=6,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=3, x3=2,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=2, x2=3, x3=2,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=2, x2=3, x3=5,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=4, x3=1,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=2, x2=4, x3=1,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=2, x2=4, x3=4,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=5, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=6, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=2, x2=7, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=1, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=2
x1=3, x2=1, x3=3,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=3, x2=1, x3=3,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=3, x2=1, x3=6,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=2, x3=2,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=3, x2=2, x3=2,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=3, x2=2, x3=5,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=3, x3=1,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=3, x2=3, x3=1,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=3, x2=3, x3=4,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=4, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=5, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=3, x2=6, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=4, x2=1, x3=2,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=4, x2=1, x3=2,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=4, x2=1, x3=5,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=4, x2=2, x3=1,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=4, x2=2, x3=1,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=4, x2=2, x3=4,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=4, x2=3, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=4, x2=4, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=4, x2=5, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=5, x2=1, x3=1,x4 =1,x5=2,x6=1
x1=5, x2=1, x3=1,x4 =2,x5=1,x6=1
x1=5, x2=1, x3=4,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=5, x2=2, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=5, x2=3, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=5, x2=4, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=6, x2=1, x3=3,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=6, x2=2, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=6, x2=3, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=7, x2=1, x3=2,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=7, x2=2, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
x1=8, x2=1, x3=1,x4 =1,x5=1,x6=1
符合条件的解有：81组
程式如下：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication2
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int k = 0;
for (int x1 = 1; x1 <= 8; x1 ++)
{
for (int x2 = 1; x2 <=8; x2++)
{
for (int x3 = 1; x3 <=8; x3++)
{
for (int x4 = 1; x4 <=8; x4++)
{
for (int x5 = 1; x5 <=8; x5++)
{
for (int x6 = 1; x6 <= 8; x6++)
{
if(x1+x2+x3+3*x4+3*x5+5*x6==21)
{
System.Console.WriteLine("x1={0}, x2={1}, x3={2},x4 ={3},x5={4},x6={5}",x1, x2, x3,x4,x5,x6);
k++;
}
}
}
}
}
}
}
System.Console.WriteLine("符合条件的解有：{0}组",k);
System.Console.ReadKey();
}
}
}

求方程x1＋x2＋x3＋x4＝12正数解组数

正数解有无穷多组。
如果是正整数解才有讨论价值
采用隔板法解决
画出12个小球，共有11个空位，在这些空位中间插入3个隔板，将小球分为4部分，分别表示x1，x2，x3，x4的值，于是共有C（11，3）=165种插法
故有165组解。

不定方程x1+x2+x3+.+x10=100的正整数解有多少组

把这个问题转换成100个球放入10个盒子中，每个盒子至少一个球。放入的球个数分别为x1、x2、x3、……、x10。
将此100个球排一行，在其中插入9块隔板将它们分成10份，每份至少一个球。因此这9块隔板不能相邻，也不能在两端。于是在100个球的中间99个空内放入隔板，共有放法C(99，9)种(其中C是组合数)。即是此不定方程的正整数解的组数，这个数超过了1.73×10^12。