BS期权定价公式推导

Question

如题所述

Answer 1

本文基于中国科学院大学于德浩老师的专业讲解，借鉴石川老师的关键图像，并参考中国社科院张鹏老师的实用工具——Excel计算模板，我们将一起探索BS期权定价公式的核心原理。

经验公式与期望值

期权价格与股票价格（Spot Price）、波动率(Volatility)以及剩余有效期(T)紧密相关。当期权的行权价格(Strike Price)等于股票期末价格(Stock Price at Expiration)，期权价值在中值(Option Price at Expiration)达到50%的概率。简而言之，期权的期望价值与当前期权价格一致，即

Option Price = E[Stock Price at Expiration]

迈向BS公式

要理解BS公式，我们首先需要理解几个关键数学概念。例如，连续复利的微分表达式(Continuous Compounding)，以及泰勒级数展开(Taylor Series Expansion)。当时间(t)趋近于0时，单利公式(Simple Interest Formula)与微分方程(Differential Equation)变得尤为重要。加入布朗运动(Brownian Motion)后，我们利用伊藤引理(Ito's Lemma)构建微分表达式:

df(t) = μdt + σdB

BS微分方程的诞生

通过上述数学工具，我们得到著名的BS微分方程，它展示了期权价格如何随股价和时间演变：

dC = rCdt + σCσdW

通过资金的时间价值考虑，我们引入市场中性条件，即无风险利率(r)和无风险资产回报率相等。化简后，著名的BS公式诞生：

C = S * N(d1) - K * e^(-rt) * N(d2)

其中，N(d1)和N(d2)是标准正态分布的累积概率密度函数，d1和d2为计算中的关键参数。

临界点与参数计算

求解BS期权定价时，关键在于找到临界点。当d1为0时，期权为平价期权；而当d2为0时，期权为纯粹的波动性交易。具体计算如下：

看涨期权：d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5σ^2)T) / (σ√T)
看跌期权：d2 = (ln(S/K) + (r - 0.5σ^2)T) / (σ√T)

通过调整公式中的参数，我们可以得到实际的期权价格。

实践应用：Excel中的计算

对于实际操作者，BS期权定价公式在Excel中通过公式实现，只需输入股票当前价格、行权价、到期时间和波动率，即可得到精确的期权定价。这不仅在金融分析中具有广泛的应用，也方便投资者理解和掌握。