两道高中数学题 关于导数 求高手手写详细过程 急 感谢

Question

如题所述

Answer 1

1、首先对x求导，得到：
f`(x)=｛[x(e^x)-(e^x)]/x²ï½-a[1-(1/x)]=(x-1)[(e^x)-ax]/x²
Ⅰ）当a=1时，f(1)=e-1，f`(1)=0，所以（1，e-1）点处切线斜率为0。所以切线方程为：y=e-1
Ⅱ）当a≤0时，分析f`(x)的值域。注意函数f(x)的定义域为x>0。显然x-1的符号很容易判断，主要分析(e^x)-ax的符号。
由于a≤0，且x>0，那么-ax≥0；而e^x>1，所以(e^x)-ax>0。故f`(x)与x-1的符号相同。
当0<x<1时，f`(x)<0，函数单调递减；
当x>1时，f`(x)>0，函数单调递增。
Ⅲ）若f(x)在（0，1）内有极值，那么方程f`(x)=0在此区间内至少有一个实数根，即(e^x)-ax=0在（0，1）内至少有一个实根。
将方程整理为：a=(e^x)/x=g(x)，那么a的取值范围就是g(x)在（0，1）区间的值域。
g`(x)=(x-1)(e^x)/x²=0
所以g(x)在（0，1）上有最小值g(1)=e，所以a的取值范围是a>e。

2、貌似字数不够了，与上一个题差不多，就说下思路了。先求导f`(x)=a+(1/x)。
第Ⅰ问就是求f`(x)>0，即a>-1/x，x∈[1,2]。
第Ⅱ问的第一个比较简单，只要证明f(x)的最大值是-2就行；
第二个麻烦一点，利用上一问结论f(x)≤-2<0，|f(x)|=-f(x)。令g(x)=|f(x)|-(lnx/x)=-f(x)-(lnx/x)，求g(x)的最值，如果最值范围包含3/2就有实数解，否则就没有。