证明1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(n+n)<3/4(n为大于2的自然数）

如题所述

推荐答案 2011-07-31

利用柯西不等式：
∵[1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(2n)]^2
<(1^2+1^2+……+1^2)[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【不可能取等号】
=n[1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+……+1/(2n)^2]【适当缩小分母部分】
<n{1/[n(n+1)]+1/[(n+1)(n+2)]+……+1/[(2n-1)(2n)]【裂项求和】
=n[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+……+1/(2n-1)-1/(2n)]
=n[1/n-1/(2n)]
=1/2
∴1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+....+1/(n+n)<√2/2＜3/4

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证明:1/(n+1) + 1/(n+2)+...+ 1/2n<3/4答：所以原式就是 ln(1+x)的泰勒级数展开式在x=1点的取值，因此原式随着n增大而增大，并且极限是ln2。由于ln2=0.693<3/4，所以原式始终小于3/4

设N∈N*,利用放缩法证明1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3) +……+1/3n答：1/（n＋1）＋1/（n＋2）＋1/（n＋3）＋···＋1/（3n）＜1/（n＋1）＋1/（n＋1）＋1/（n＋1）＋···＋1/（n＋1）＝［3n－（n＋1）］/（n＋1）＝（2n－1）/（n＋1）＜（2n＋2）/（n＋1）＝2

证明1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)<ln2 谢谢求高手这是导数构造法的...答：可用导数证明: 对x > 0, ln(1+x) > x/(1+x).因此ln(k+1)-ln(k) = ln(1+1/k) > (1/k)/(1+1/k) = 1/(k+1).对k = n, n+1,..., 2n-1将上式求和即得1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) < ln(2n)-ln(n) = ln(2).

.../n+1]+[1/n+2]+[1/n+3]+…+[1/2n]>[13/24](n≥2,n∈N*)?答：证明：（1）当n=2时，[1/2+1+ 1 2+2＝ 14 24]，[14/24＞ 13 24]命题成立．（2）假设当n=k时，[1/k+1+ 1 k+2+ 1 k+3+…+ 1 2k＞ 13 24]成立当n=k+1时，[1/k+2+ 1 k+3+…+ 1 2k+ 1 2k+1+ 1 2k+2]=[1/k+1]+[1/k+2+ 1 k+3+…+ 1 2k+ 1 ...

用数学归纳法证明:[1/n+1]+[1/n+2]+[1/n+3]+…+[1/n+n]>[11/24...答：证明：（1）当n=1时，左边=[1/2]＞[11/24]，∴n=1时成立（2分）（2）假设当n=k（k≥1）时成立，即 [1/k+1+ 1 k+2+ 1 k+3+…+ 1 k+k＞ 11 24]那么当n=k+1时，左边=[1/k+2+ 1 k+3+…+ 1 k+k + 1 K+1+k+ 1 k+1+k+1]=[1/k+1+ 1 k+2+ 1 k+3...

...证明:1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/3n>5/6(n≥2)。为什么当N=2时...答：分母是连续的自然数，第一个是n+1，最后一个是3n，明确了这个就能得到左边的式子了 n=2时就是分母就是从3到6，n=3就是从4到9

证明不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>13/24答：数学归纳法:①n=1时,不知道是不是这样：左边=1/(1+1)=1/213/24命题成立 n=3时,1/(3+1)+1/(3+2)+1/(3+3)=74/120>13/24命题成立 ②假设对n=k-1命题成立(k≥3),即1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)>13/24,则 1/(k+1)+1/(k+2)+…+1/(k+k)=1/k+1/(k+1...

证明1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(3n+1)>1(N属于正整数)答：令f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)f(n+1)-f(n)=1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)=2/(3n+2)(3n+3)(3n+4)>0 f(n)递增所以f(n)最小值为f(1)=13/12

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