1.在直角三角形中，∠A＝90°，BC＝1cm，AC＝0.8cm,则AB＝（ A ）
A.0.6 B.0.4 C.1.4 D.2.4
2.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm,则其面积为（D ）
A.12 B.10 C.8 D.6
3.在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（D ）
A.42 B.32. C.42或32 D.37或33
1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )
A． h2 B． h2 C． h2 D． h2
答案：B
说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h2，所以答案为B．
2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )
A． 12cm2 B． 10cm 2 C． 8cm2 D． 6cm2
答案：D
说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：
由①得x+y=7③，由③得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = ×12=6，所以答案为D．
3．下列命题是真命题的个数有( )
①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为
②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为
③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
说明：①因为另一条直角边长的平方为( )2−12=3−1=2，所以另一条边长为 是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知 •k•2k=2，所以k= ，故两直角边长为 ，2 ，所以斜边长为 = ，故②正确；③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为 =5，故④正确；所以答案为D．
4．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )
A． + 2m B． +m C．2( +m) D．2 +m
答案：C
说明：如图，设AC=x，BC=y，则 xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C．
5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )
A．10 −15 B．10−5 C．5 −5 D．20−10
答案：D
说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x
因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x
由勾股定理得：x2+(5−2x)2=(2x)2，即x2−20x+25=0，解得x= =10±5
因为DC<BC=5，所以x=10+5 应舍去，故x=10−5 ，所以CE=2x=2(10−5 )=20−10 ，答案为D．
6．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：C
说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C．
7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米
A．0.7 B． 0.8 C．0.9 D．1.0
答案：A
说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为 = = =0.7，答案为A．
8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )
A．6 B． 8 C．10 D．12
答案：C
说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．
9．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2−AC2=2BC·EF
证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2
在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2
所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)
因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC
所以BF−FC=2EF
所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF
10．如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求 AB．
解：如图，作AD⊥BC
因为EF⊥BC，所以AD//EF
因为E为AC中点，所以F为DC的中点
因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6
因为BC=9，所以BD=9−6=3
设EC=x，则AC=2x
由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2
所以AC2−AB2=DC2−BD2①
即AC2−AB2=62−32=27
因为∠A=90º，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81②
由②−①得2AB2=81−27=54，所以AB2=27，即AB= =3
习题精选二
1．判断题
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
⑷△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形．
答案：对，错，错，对；
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．
B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形．
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形．
答案：D
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
答案：D
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ； ⑷a=5，b= ，c=1．
答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．
5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．
⑴如果a3＞0，那么a2＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．
答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题．
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．
6．填空题．
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 ．
⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是 ．
⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是 ．
⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是 三角形．
答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
⑸小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 ．
答案：向正南或正北．
7．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵ ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸(m+n)2－1，2(m+n)，(m+n)2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
8．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a2＋b2－c2)=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形．
答案：C
9．如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿，早晨测得它的影长为 4米，中午测得它的影长为 1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
答案：能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2
10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
答案：由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°．
11．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米， DA=12米，又已知∠B=90°．
提示：连结AC．AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米．
12．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD．求证：△ABC中是直角三角形．
提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°．
13．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：△ABC是等腰三角形．
提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC．
14．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2．求证：AB2=AE2+CE2．
提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2．
15．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定△ABC的形状．
提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14．又因为c2=14，所以a2+b2=c2 ．
给出下列几组数：① ；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①②
B．③④
C．①③④
D．④
8．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．
A．1，2，3
B．4，5，6
C．12，13，14
D．9，40，41
9．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．
A．8个
B．10个
C．11个
D．12个
10．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（ ）；
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
三、解答题
11．如图18－2－5，在 中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求 的周长和面积．
12．已知 中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC上的中线AD＝8 cm，请你判断 的形状，并说明理由 ．
13．一种机器零件的形状如图18－2－6，规定这个零件中的 A和 DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗?
14．如图18－2－7，四边形ABCD中， ，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
15．为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽千家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问，当年结婚时，两个人各是多少岁?现在共有子女几人?（在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁）
16．有一只喜鹊正在一棵高3 m的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 m且高为14 m的一棵大树上，巢距离大树顶部1m，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，便立即赶过去．如果它飞行的速度为5m／s，那么它至少需要几秒才能赶回巢中?。
四、思维拓展
17．给出一组式子：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402=412，…
（1）你能发现关于上述式子的一些规律吗?
（2）请你运用规律，或者通过试验的方法（利用计算器），给出第五个式子．
18．我们知道，以3，4，5为边长的三角形为直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）试用数学等式描述上述勾股数组的规律；
（3）请证明你所发现的规律．
五、中考热身
19．（2004年福州市）如图18－2－8，校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______m．
答案
1．13；直角三角形 2． 3．直角；6 4．8．4 5．直角三角形；勾股定理的逆定理 6．184 cm2
7．D 8．D 9．D 10．B
11．周长为48，面积为84． 提示：根据勾股定理的逆定理可知 为直角三角形，故AD BC，再根据勾股定理可得BD＝6，从而可求解．
12． 为等腰三角形．
理由：在 中，AB＝17cm，AD＝8 cm，BD＝15 cm，
AB2＝AD2＋BD2
为直角三角形．
在 中，AC2=AD2＋CD2=82＋152＝172cm2
AC＝17 cm，
为等腰三角形．
13．符合．
14．连接AC，得 ，由勾股定理知AC＝5，
AC2＋CD2＝52＋122＝169＝132＝AD2， ACD＝
S四边形ABCD=S ABC＋S ACD＝
= 6＋30＝36．
15．詹克21岁，凯丽20岁，现在共有11个子女．
16．如图，由题意知AB＝3 m，CD=14－l＝13 m，BD＝24 m．过A作AE CD于E，则CE=13－3=10 m，AE=BD=24 m．在 中，AC2＝CE2＋AF=102＋242=262 m2， AC＝26 m， 26÷5=5．2 s， 它至少需要5．2 s才能赶回巢中．
17．（1）①每个等式中的三个底数都正好组成一组勾股数；
②每个等式中的最小的底数恰好是连续的奇数；
③最大的底数比第二大的底数大1；
④第二大的底数是偶数，最大的底数是奇数；
⑤这些等式中的底数都是代数式m2－n2，2mn，m2＋n2，当m和n取不同正整数时得到的数．
（2）第五个式子应当是m=6，n＝5时，所得的三个底数的平方和，即112＋602＝612．
18．（1）（48，14，50）．
（2）设n≥2，且n为整数，勾股数组的规律为 （n2－l，n2，n2＋1）．
（3） （n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝（n2＋1）2，
以n2－1，2n，n2＋l为三边长的三角形为直角三角形．
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