求解一道高中数学导数题

Question

已知f(x)=a(x^3)+b(x^2)+cx+3(a>0)，f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线为y=2x+1。
如果f(x)存在极大值M，极小值N，我们把“|M－N|”叫做f(x)的振幅度，已知f(x)的振幅度为4a，求a的值。

Answer 1

f(1)=a+b+c+3 f (1)=2*1+1=3 所以a+b+c+3=3---------1
f(x)的导数为3a(x^2)+2bx+c
在点（1，f(1)）处的切线斜率为3a+2b+c=2-------2
联立1,2，得2a+b=2,b=2-2a,c=a-2
根据倒数定义3a(x^2)+2bx+c=0的两个根即为f(x)取到极值时的x的值,设为m,n
则m+n=-2b/3a=-(4-4a)/3a m*n=c/3a=(a-2)/3a　　　　
( m-n）＾2=（m＋n）＾2－4mn
|M-N|=|[a(m^3)+b(m^2)+cm+3]-[a(n^3)+b(n^2)+cn+3]|=4a
a(m^3-n^3)+b(m^2-n^2)+c(m-n)=4a
a(m-n)(m^2+n^2+mn)+2(m+n)(m-n)-2a(m+n)(m-n)+a(m-n)-2(m-n)=4a
代入解方程就好了

Answer 2

b=2-2a,c=-2+a.根据韦达定理消b,c得到关于a的一个方程，即可求解追问

能具体点吗？