概率中关于期望E和方差X的选择题，给我解释一下为什么选或不选

Question

如果E（XY）=E(X)E(Y),则下列错误的是
A、D(X-Y)=D(X)+D(Y)
B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C、X与Y一定不相关
D、X与Y一定相互独立

我查了课本，如果X与Y相互独立，才有E（XY）=E(X)E(Y),那么这道题就没正确选项了吧？因为题目说了E（XY）=E(X)E(Y),所以X与Y相互独立，所以独立推出不相关，选项A和B显然也是独立的情况下推出来的，那么所有选项都是正确的，而这道题让选不正确的，求教

Answer 1

这个题应该选D. D是唯一一个错误的选项.

因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y), 所以若E（XY）=E(X)E(Y),则协方差为0，于是选项A和选项B都是正确的。另外协方差为0，则相关系数为0，于是X与Y不相关，所以选项C也是正确的。最后只有选D了。

若X与Y相互独立，则必有E（XY）=E(X)E(Y),从而X与Y一定是不相关的。反之，若X与Y不相关，则X与Y未必相互独立。但一种特殊情况例外：
若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充分必要条件是X与Y不相关。
把上面的结果推广到n维正态分布也是成立的.