关于全微分的一个简单问题

Question

二元函数f在(x0,y0)全微分的定义：z=f(x,y) 存在实数A，B
有下列表达式△z=A△x+B△y+o(√(△x^2+△y^2)) (△x,△y)→(0,0)
但书上说了另一个定义：存在A，B有
△z=A△x+B△y+α△x+β△y 其中α，β均为 (△x,△y)→(0,0)时的无穷小量

请证明两种定义的等价性（不必详细，说关键点，我懂了马上给分）
在线等

Answer 1

两种定义的等价性关键是o(√(△x^2+△y^2)) 与α△x+β△y的等价性；
（1）o(√(△x^2+△y^2))/√(△x^2+△y^2)→0是对于任意的 △x和△y而言都成立的式子，所以，在特殊情况下此式也成立： △y=0，得; o(√(△x^2))/√(△x^2)=o(△x)/|△x|→0
又可以表示为：α△x；对另一种情况也一样；
（2）|α△x+β△y|/√(△x^2+△y^2)=|α||△x|/√(△x^2+△y^2)+|β||△y|/√(△x^2+△y^2)
≤|α|+|β|→0
所以：α△x+β△y就是o(√(△x^2+△y^2))

Answer 2

就是证明a△x+b△y＝o(√(△x^2+△y^2)) 。
利用不等式|a△x+b△y|<=√(△x^2+△y^2)*√(a^2+b^2)追问

|a△x+b△y|<=√(△x^2+△y^2)*√(a^2+b^2)
|a△x+b△y|/√(△x^2+△y^2)<=√(a^2+b^2)
然后 额？？

追答

条件是a b都是无穷小量，那么√(a^2+b^2) 就是无穷小量了，于是a△x+b△y＝o(√(△x^2+△y^2))

追问

嗯 这个我懂了 但我的意思是
o(√(△x^2+△y^2)) 都可以写成a△x+b△y的形式怎么证？

追答

o(√(△x^2+△y^2))写为r(h)，其中h＝(△x，△y)，r(h)=o(||h||)，则
r(h)=||h||*r(h)/||h||=(△x/||h||*△x+△y/||h||*△y)*r(h)/||h||＝a△x+b△y，其中
a＝△x/||h|| × r(h)/||h||，b＝△y/||h|| × r(h)/||h||，注意到
|△x/||h|| |<=1和 r(h)/||h||是无穷小量，故a是无穷小量。b类似。

本回答被提问者采纳