证明logx的导数为1/(xlna)，lnx导数为1/x。要详细过程！

Question

如题所述

Answer 1

△y＝f(x+△x)－f(x)
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。

当a=a时有⊿y/⊿x＝loge/x=lne/lna/x=1/(xlna)
当a=e时有dy/dx=1/x
]追问

打字有点小错误，loga[(1+⊿x/x)^x]/x 应写为loga[(1+⊿x/x)^x]1/x 。下面的相应改上。回答很好！我看了有些人的解答，有涉及等价无穷小代换，你这证法很好。