已知抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为f,a、b是抛物线c上异于坐标原点o的不同两点，抛物线c在点a、b处的切线分

Question

已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为l1、l2,且l1⊥l2，l1与l2相交于点D
（1）求点D的纵坐标
（2）假设点D的坐标为（3//2，-1），问是否存在经过A、B两点且与l1、l2都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

Answer 1

解:
(1)设A(x1,y1)B(x2,y2)
则有：y1=x1^2/(2p),y2=x2^2/(2p)
由于C：y=x^2/(2p)
则：y'=x/p
则点A处切线l1斜率：k1=x1/p,
点B处切线l2斜率：k2=x2/p
由于：l1⊥l2
则：k1*k2=-1
即：x1x2=-p^2
由：抛物线C在点A、B处的切线分别为l1、l2
则l1:x1*x=py+py1,l2:x2*x=py+py2
联立l1,l2得：
y=(x2y1-x1y2)/(x1-x2)
=[x2*x1^2/(2p)-x1*x2^2/(2p)]/(x1-x2)
=[(x1x2)(x1-x2)/2p]/(x1-x2)
=x1x2/(2p)
=-p/2
(2)由于yD=-1
则：p=2
由于：l1:x1*x=py+py1,l2:x2*x=py+py2
则：xD=p(y1-y2)/(x1-x2)
=(x1+x2)/2=3/2
则：x1+x2=3
又：x1x2=-p^2=-4
则：求得：x1,x2无实根
故不存在符合题意的圆

Answer 2

1-B
2-A
3-A包含于B
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