隐函数的导数，急死了~~~

Question

哎，这块总是弄不明白。比如x^2+y^2=4，x^2求导是2x，y^2怎么求导呢？网上有人说默认把y看成是关于x的函数，也就是说x是y函数的自变量，不是很明白。而且看书上好像还涉及到了复合函数求导，到底怎么做呀？最好能写一下详细过程，谢谢啦！

Answer 1

隐函数的导数
设方程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.
例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2y =0,
于是得 .
从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y¢的一次方程, 解出y¢, 即为隐函数的导数.
例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2y y¢=2p,
解出y¢即得
.
例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
y¢=ln y+x× ×y¢,
解出y¢即得 .
例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2x+y+x y¢+2y y¢=0,
解出y¢即得
.
所求切线的斜率为
k=y¢|x=2,y=-2=1,
于是所求切线为
y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.

参考资料：导数的基本公式与运算法则

Answer 2

f(x)^2的导数是2f(x)f'(x)，y^2里的y相当于就是f(x)，求导结果为2yy'。f'(x)&y'都是关于x的函数，是题目要求的结果。原题=两边对x求导化，为2x+2yy'=0，就可以得出y'。

Answer 3

x-y+ 1/2 siny=0
F(x,y)=y-x-1/2siny=0
F,Fx,Fy在定义域的任意点都是连续的,
F(0,0)=0
Fy(x,y)>0
f'(x)=-Fx(x,y)/Fy(x,y)
=1/(1-1/2cosy)
=2/(2-cosy)
Fx(x,y)+Fy(x,y)y'=0
再求导:
Fxx(x,y)+Fxy(x,y)y'+[Fyx(x,y)+Fyy(x,y)y']y'+Fy(x,y)y''=0
所以
y''=[2FxFyFxy-F^2yFxx-F^2xFyy]/F^3y
将每一个偏导数分别求出来,再代入就可以了!
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也可以对f'(x)对x求导
f'(x)=2/(2-cosy)
这样比较容易一点
我可以帮助你，你先设置我最佳答案后，我百度Hii教你。

Answer 4

应该是：
第一步：方程x^2+y^2=4的两边同时对x求导（任何求导过程必须要明确对谁球道，平时不说默认对x求导，容易混淆时要说清楚哦）
得结果：2x+2y×y'=0(y^2求导是复合函数求导)
第二步：移项得y'=-x/y

Answer 5

隐函数的导数也是要求y关于x的导数啊
x^2+y^2=4 => 2x+2y*(y')=0
y'=-x/y 然后把y=±√(4-x^2)代入