在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中

Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
（2） 点A1到平面AB1D1的距离；
（3） 平面AB1D1与平面BC1D的距离；
（4） 直线AB与平面CDA1B1的距离。

求过程。

Answer 1

1、用等积法。
S△A1B1D1=1*1/2=1/2，
V三棱锥A-A1B1D1=（1/2）*1/3=1/6，
三角形AB1D1是正三角形，
S△AB1D1=√3*（√2）^2/4=√3/2,
设A1至平面AB1D1距离为h,
V三棱锥A1-AB1D1=(√3/2)*h/3,
(√3/2)*h/3=1/6,
h=√3/3.
A1到平面AB1D1的距离√3/3.
2、很明显，∵AD1//BC1，B1D1//BD，
AD1∩B1D1=D1，
BC1∩BD=B，
∴平面AB1D1//平面BDC1，
则C1至平面AB1D1的距离就是二平行平面间的距离，
与上述方法相同，得C1至平面AB1D1距离为√3/3，
则平面AB1D1与平面BC1D的距离为√3/3。
3、AB//CD，
CD在平面DCB1A1上，
故AB//平面A1B1CD，连结正方形BCC1B1对角线BC1和B1C，相交于M
BM⊥B1C1，
A1B1⊥平面BCC1B1，
BM∈平面BCC1B1，
故A1B1⊥BM，
A1B1∩B1C=B1，
故BM⊥平面A1B1CD，
则BM就是棱AB和平面A1B1CD间的距离，
BM=√2/2。

Answer 2

解：设NP为面DMN与面A1B1C1D1交线，设MP为面DMN与面ABB1A1交线，DN为面DMN与面DCC1D1交线，取A1B1中点E连结AE，NE
因为正方体中：
面DCC1D//面ABB1A
面DMN交面DCC1D=DN
面DMN交面ABB1A1=MP
所以DN//MP
因为N、E为棱中点
NE//A1D1//AD
所以DN//AE
因为DN//MP
所以MP//AE
因为M是棱AA1中点
所以A1P/A1E=A1M/A1A=1/2
所以A1P/A1B1=1/4
所以PB1/A1B1=3/4
即PB1=3/4*A1B1=3/4a
作图方法：取A1B1中点E，再取AE中点P（取有向线段A1B1第一个四等分点）连结MP，NP。则NP为所求面DMN与底面A1B1C1D1交线l。

Answer 3

1.连B'D'，CD'
∵B'C=B'D'=CD'
∴△B'CD'是正三角形
∴∠CB'D'=60°
∵B'D'∥BD
∴异面直线BD与B'C所成的角等于60°
2.∵BB'⊥面ABCD，AC∈面ABCD
∴BB'⊥AC
又AC⊥BD，BD∩BB'=面B'D'DB
∴AC⊥面B'D'DB
又AC∈面ACB'
∴面ACB'⊥面B'D'DB

Answer 4

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