解：1题，∵∑(1/2)^n是首项为1、公比q=1/2的等比数列，满足收敛条件丨q丨<1，∴级数收敛。其和为1/(1-q)=2。
2题，∵原式=4∑(-1/3)^n，∑(-1/3)^n是首项为1、公比q=-1/3的等比数列，满足收敛条件丨q丨<1，∴级数收敛。其和为4[1/(1-q)]=3。
3题，∵n→∞时，sin(1/n)~1/n，∴级数∑n[sin(1/n)]^2与∑n(1/n)^2有相同的敛散性。而，∑n(1/n)^2=∑1/n，是p=1的p-级数，发散。∴∑n[sin(1/n)]^2发散。
4题，仿3题过程，级数∑[sin(1/n)]n^2与∑(1/n)n^2有相同的敛散性。而，∑(1/n)n^2=∑n→∞，发散。∴∑[sin(1/n)]n^2发散。
供参考。
2题，∵原式=4∑(-1/3)^n，∑(-1/3)^n是首项为1、公比q=-1/3的等比数列，满足收敛条件丨q丨<1，∴级数收敛。其和为4[1/(1-q)]=3。
3题，∵n→∞时，sin(1/n)~1/n，∴级数∑n[sin(1/n)]^2与∑n(1/n)^2有相同的敛散性。而，∑n(1/n)^2=∑1/n，是p=1的p-级数，发散。∴∑n[sin(1/n)]^2发散。
4题，仿3题过程，级数∑[sin(1/n)]n^2与∑(1/n)n^2有相同的敛散性。而，∑(1/n)n^2=∑n→∞，发散。∴∑[sin(1/n)]n^2发散。
供参考。
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