为什么齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数？？

如题所述

推荐答案推荐于2017-09-26

按矩阵理论，齐次线性方程组系数矩阵的秩不大于未知数的个数，当等于未知数的个数时，不但方程个数与未知数个数相等，而且说明各方程独立，即每一个方程都不能由其他方程代替，即此时矩阵满秩。按方程组理论，解只可能有一个，这就只能是零解。当齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，说明独立的方程比未知数的个数少，即一个或几个方程可由其他方程推出或代替，这时设想某个或某几个未知数取任意的固定值，从而由其他方程解出其他未知数（使得在较小的规模下未知数的个数与方程个数相等），这意味着方程组有非零解。

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第1个回答 2014-12-24

未知数的个数也就是矩阵的列数，当矩阵的秩等于增广矩阵的秩且均小于系数矩阵的列数时，方程租有无穷多组解，自然有非零解，简单证明如下，可以把系数矩阵按列分块，为a1,a2......an,方程可化为，x1a1+......xnan=0(0是n×1的零向量），也就是若r(A)<n=未知数个数，则线性相关，ai不全为零

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齐次线性方程组有非零解的充要条件是什么?答：齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：r(A)<n，即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。由此可得推论：齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程...

齐次线性方程组有非零解的充要条件是什么?答：零解是一定所有齐次方成组的解，但不一定是唯一解。当齐次方成组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，该方程组一定有非零解，否则只有零解。齐次线性方程组只有零解：说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解），即A的秩r（A）=未知数的个数n <=>A为列满秩矩阵 齐次线性方程...

线性代数为什么方程个数小于未知数个数有非零解答：所以齐次线性方程组一定有解（至少有一个零解）。若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数的个数，即系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组有无穷多解（即有非零解）。如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

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