如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，

Question

问在E、F在移动过程中:
(1)求证：∠EAF=45°
（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由.

Answer 1

【提示】证明△EAH≌△EAB，△FAH≌△FAD．
【答案】（1）∠EAF始终等于45°．证明如下：
在△EAH和△EAB中，
∵ AH⊥EF，∴ ∠AHE＝90°＝∠B．
又 AH＝AB，AE＝AE，∴ Rt△EAH≌Rt△EAB．
∴ ∠EAH＝∠EAB．
同理 ∠HAF＝∠DAF．∴ ∠EAF＝∠EAH＋∠FAH
＝∠EAB＋∠FAD＝ ∠BAD＝45°．
因此，当EF在移动过程中，∠EAF始终为45°角．
（2）△ECF的周长不变．证明如下：
∵ △EAH≌△EAB，
∴ EH＝EB．
同理 FH＝FD．
∴ △ECF周长＝EC＋CF＋EH＋HF
＝EC＋CF＋BE＋DF
＝BC＋CD＝定长．

Answer 2

证明：
对△ABE和△AHE
∵ AH⊥EF
∴∠ABE=∠AHE=90°
又AH=AB，AE=AE
根据直角三角形全等条件
知△ABE≌△AHE
故而 ∠BAE=∠HAE
对△AHF和△ADF
知 ∠ADF=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AD 有△AHF≌△ADF
故而 ∠DAF=∠HAF （E，F两点选择不失一般性）
（1）故而∠EAF=∠HAE+HAF=1/2（∠BAH+∠DAH）=1/2 90°=45°
（2）由△ABE≌△AHE 有BE=HE
由△AHF≌△ADF有DF=HF
故而EC+FC+EF=EC+FC+HF+HE=EC+FC+DF+BE=BC+DC
故而△ECF的周长不变
这道题主要考察了直角三角形全等的概念。

Answer 3

2.AB=AH，∠B=90°，
又∵AH⊥EF，
∴∠AHE=90°
∵AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△HAE，
∴∠BAE=∠HAE，
同理，△HAF≌△DAF，
∴∠HAF=∠DAF，
∴∠EAF= ∠BAH = = ，
又∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=45°，
∴∠EAF的大小没有变化．
又∵BC=DC，EF=EH+HF，EC=BC-BE，FC=DC-DF，
∴C△EFC=BE+DF+BC-BE+BC-DF=2BC，
∴△ECF的周长没有变化．

Answer 4

解：在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∵AH=AB，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴∠BAE=∠HAE，BE=EH．
同理可证 Rt△DAF≌Rt△HAF，可得
∠HAF=∠DAF，HF=FD．
∴（1）∠EAF=1 2 ∠BAD=45°；
（2）△ECF的周长=EC+CF+EH+HF=BC+CD=2+2=4（cm）．
故答案为：（1）不变； 45°； （2）不变； 4cm．

Answer 5

解答：（1）证明：由已知得AB=AH，AE=AE，
又∵A到EF的距离为AH，∴∠B=∠AHE=90°，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）．
得到∠BAE=∠HAE．
同理：∠DAF=∠HAF．
∴2∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=45°．
（2）解：△ECF的周长没有变化；理由如下：
由Rt△ABE≌Rt△AHE得到BE=HE，
同理：DF=HF，
周长△ECF=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=2AB．