正方形ABCD中点E F分别在BC CD 上移动 但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E， F移动过程中

Question

1 ∠EAF的大小是否有变化？请说明理由
2 △ECF的周长是否有变化？并说明理由

Answer 1

因为AH⊥EF

所以∠AHE=90,

因为∠B=90

所以∠B=∠AHE

又AB=AH,AE=AE,

所以△ABE≌△AHE(HL)

所以∠BAE=∠EAH,

同理△ADF≌△AHF

所以∠HAF=∠DAF

所以∠EAF+∠HAF=∠BAE+∠DAF=(∠BAE+∠EAH+∠HAF+∠DAF)/2=∠BAD/2=45

所以始终不变

2）由三角形全等，得

BE=HE,HF=DF

所以△ECF的周长=EC+FC+EF

=EC+FC+(EH+FH)

=EC+FC+EH+FH

=EC+FC+BE+DF

=BC+CD

=2BC

所以周长始终不变

Answer 2

设A（0，0），AB=AD=1
H在x^2+y^2 = 1上面移动，EF为圆在H点的切线
其斜率满足 2x + 2ydy/dx = 0, dy/dx = -x/y
E点坐标为（(y+1)/x,-1),
F点坐标（1，(1-x)/y)
tan EAF = [(1-x)/y + x/(y+1)]/(1-(1-x)/y * x/(y+1)) =[ (1-x)(1+y) + xy] / (y(y+1) - (1-x)x)
= 1-x+y / (y-x + 1) = -1
所以EAF=45度不变

同样可以计算ECF周长

Answer 3

∠EAF=45°