如何用拉格朗日乘数法解决最大化问题

Question

如题所述

Answer 1

假设长方体的长为x，宽为y，高为z，那么表面积为6。根据长方体表面积公式，我们可以写出：
2(xy + xz + yz) = 6
要使长方体的体积V = xyz最大，我们需要使用拉格朗日乘数法来解决这个约束优化问题。我们可以将上述公式化简为：
xy + xz + yz = 3
定义拉格朗日函数：
L(x, y, z, λ) = xyz + λ(xy + xz + yz - 3)
对L分别对x, y, z求偏导数，并令偏导数等于0：
∂L/∂x = yz + λ(y + z) = 0
∂L/∂y = xz + λ(x + z) = 0
∂L/∂z = xy + λ(x + y) = 0
解这个方程组，我们可以得到x=y=z和λ的值。根据对称性，长宽高相等的情况下体积最大。将x=y=z代入约束方程xy + xz + yz = 3，我们得到：
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = 1
因此，长宽高都等于1时，长方体的体积最大。在这种情况下，体积V = 111 = 1。