在△ABC中，AD垂直于BC，垂足为点D（D在BC边上），BE垂直于AC，垂足为点E，

Question

在△ABC中，AD垂直于BC，垂足为点D（D在BC边上），BE垂直于AC，垂足为点E，M为AB边的中点，联结ME，MD，ED。

Answer 1

2)点E在CA延长线上时, ∠EMD=2∠DAC 仍然成立
在RT△ABE和RT△ABD中
∵ME是斜边AB上中线, DM是斜边AB上中线
∴ME=DM=BM=AM=1/2AB
∴B ,D,A,E四点共圆,在,以M为圆心,ME=DM=BM=AM为半径
∵∠EMD是圆心角, ∠DBE是圆周角,它们都在弧DE上
∴∠EMD=2∠DBE
又B ,D,A,E四点共圆
∴∠DAC=∠DBE (圆外角等于它不相邻的内角)
∵∠EMD=2∠DBE ,∠DAC=∠DBE
∴∠EMD=2∠DAC
3)设AC=2x ,则,CD=x,CE=AC+AE=1+2x ,BC=BD+CD=x+4
∵△MDE是等边三角形

∴∠EMD=60,AB=2ME
∵∠DBE=1/2∠EMD=1/2*60=30
∴∠DBE=30
∴BC=2CE
x+4=2(1+2x)
x=2/3
∴CD=2/3
∴AD=√3/2*CD=√3/2*(2/3)=√3/3
AB=√(BD^2+AD^2)=√(4^2+(√3/3)^2)=7√3/3
∴AB=7√3/3
∵DM=1/2AB
∴DM=7√3/6
3DM=3*7√3/6=7√3/2
∴△MDE是等边三角形周长:7√3/2