二元函数z=f(x,y)在x0处存在偏导和一元函数f=(x,y0)在x0处可导互为充分必要条件即二者等价吗？

Question

如题所述

Answer 1

两者一般不能等价，例：
(x0, y0)：（0，0），f(0, 0)=0，
(x, y)≠(0, 0)，f(x, y)=x*y^2/(x^2+y^4)
|x^2+y^4|>=2|xy^2|，|f(x, y)|<=1/2
f(x, y0)=0*x/(x^2+0)=0, 对任意 x ，f'(x，y0)=0，
而 f(x, y)=x*y^2/(x^2+y^4) 至少在 (0, 0) 处不存在偏导
因为 x=y→0，f(x, y)→0，x=y^2→0，f(x, y)→1/2，
f(x, y) 在 (0, 0) 处不连续

Answer 2

二元函数不能说在x0处，你必须说(x0,y0)处
z=f(x,y)在(x0,y0)处存在偏导和g(x)=f(x,y0)在x=x0处可导是等价的。但是比较可导/偏导其实不是最重要的，可微才更重要。
在一维函数中，可导和可微时等价的，在二维函数中，却并不等价，所以z=f(x,y)在(x0,y0)处可微是g(x)=f(x,y0)在x=x0处可微的充分条件，但是不是等价条件本回答被提问者采纳