岩石是一种结构非常复杂的固体材料，它是由多种矿物晶粒、胶结物和孔隙组成的混合体。岩石中存在的断层、节理和裂隙等缺陷对岩石力学性质有很大影响，岩石变形破坏过程的实质就是岩石材料中缺陷的萌生、扩展、相互作用和贯通的过程，所以对岩石裂纹尖端的力学性质进行研究有很大的意义。
在漫长的地质历史条件下，岩石在各种各样的构造作用下产生了多种性质的裂纹，岩石的破坏实质也就是裂纹的相互作用和扩展的过程。传统的断裂力学研究的对象主要是三种基本裂纹类型：张开型（Ⅰ型）、滑开型（Ⅱ型）和撕开型（Ⅲ型）。但由于岩体结构或者是荷载的不对称、岩石材料的各向异性等原因，实际结构中的受力是非常复杂的，使得裂纹尖端的应力场多数为复合型，而不是单纯的Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ型裂纹。
对于复合型断裂问题，国内外学者进行了一系列的研究，得到了许多有意义的结论，但由于问题的复杂性，还有许多问题需要进一步的研究。下面将岩石的断裂问题与岩石的破坏准则联系在一起，建立岩石断裂判据。
对于Ⅰ-Ⅱ型复合裂纹的岩石，裂纹尖端的应力在直角坐标中可用式（3-2）表示。由于岩石裂纹的扩展实质上就是岩石破坏的过程，岩石的断裂与破坏存在着必然的关系，同时岩石的破坏准则可以充分考虑到岩石裂纹尖端的复杂受力状态。因此，可以采用岩石的强度破坏准则来建立岩石断裂中KⅠ和KⅡ的关系，从而可以得到岩石断裂判据。下面分别采用在岩土材料中广泛应用的Mohr-Coulumb和Drucker-Prager准则建立岩石裂纹断裂判据，并且分析纯Ⅱ型裂纹的断裂韧度和纯Ⅰ型裂纹的断裂韧度的关系。
一、岩石强度破坏准则
1.Mohr-Coulumb准则
Mohr-Coulumb准则的表达式为
岩石断裂与损伤
式中：σ、τ分别为剪切面受到的法向应力和切向应力；c为破裂线在τ轴上的截距，它表示材料固有的抗剪切强度；ψ为剪切面上的内摩擦角，若剪切面上的内摩擦系数为f，有f=tanψ。设β为破裂面的方位角，则有
岩石断裂与损伤
三个主应力计算公式为
岩石断裂与损伤
结合裂纹尖端的应力状态即式（3-2），就可以得到主应力的值。
2.Drucker-Prager准则
Drucker-Prager准则的表达式为
岩石断裂与损伤
式中：α和k均为岩石材料常数，由岩石的材料参数内摩擦角ψ和黏聚力c决定；I1、J2分别为应力张量第一不变量和应力偏量第二不变量，且可分别表示为
岩石断裂与损伤
Drucker-Prager准则和Mohr-Coulunmb准则有内接圆和外接圆两种基本对应关系，这里采用外接圆形式，在π平面上，若Drucker-Prager准则为库仑六边形的外接圆时，则α和k可表示为
岩石断裂与损伤
由六个直角坐标系下的应力分量求应力张量第一不变量I1和应力偏量第二不变量J2的计算公式为
岩石断裂与损伤
由此可见，应力张量第一不变量I1和应力偏量第二不变量J2是关于KⅠ、KⅡ、r、θ的变量。
二、裂纹起裂角
1.最小J2准则
在确定岩石裂纹断裂判据的时候，知道岩石裂纹的起裂角非常重要。不仅在计算中需要，而且还可以知道裂纹沿什么方向发生扩展。因为应力偏量第二不变量J2是关于KⅠ、KⅡ、r、θ的函数，它能够充分反映裂纹尖端的应力状态；并且在J2取最小值的方向上，因为体积应变能密度大于形状改变比能密度，最容易发生断裂。有
岩石断裂与损伤
并且满足，还要满足J2min=J2 （θ0），则可以得到微裂纹起裂角θ0
2.岩石裂纹起裂角分析
根据最小J2准则，由式（5-24）可得
岩石断裂与损伤
式（5-25）同时还要满足和J2min=J2（θ0），根据给定的KⅠ和KⅡ值就可以得到岩石裂纹的起裂角θ0。
（1）当KⅡ=0时，则裂纹为纯Ⅰ型断裂问题，式（5-25）可简化为
岩石断裂与损伤
解式（5-26）可得
岩石断裂与损伤
同时还要满足：
岩石断裂与损伤
则可以得到纯Ⅰ型断裂的裂纹起裂角为：θ0=0。这与其他理论得到的起裂角是一样的。
（2）当KⅠ=0时，则裂纹为纯Ⅱ型断裂问题，式（5-25）可简化为
岩石断裂与损伤
解式（5-27）可得
岩石断裂与损伤
同时还要满足：
岩石断裂与损伤
因为J2min=J2（θ0）对于都成立（实际中应该只有唯一解），则可以得到纯Ⅱ型断裂的裂纹起裂角为：θ0=±83.6°。这比其他理论得到的纯Ⅱ型断裂问题的起裂角要大些，例如利用最大周向应力断裂准则得到纯Ⅱ型断裂问题的起裂角为θ0=70.5°。为了后面的计算不受到纯Ⅱ型断裂问题的起裂角方向的影响，取纯Ⅱ型断裂问题的起裂角为θ0=-83.6°。
三、断裂判据
1.基于Mohr-Coulumb准则的断裂判据
结合岩石的破坏准则Mohr-Coulumb准则和岩石裂纹尖端应力场来求解断裂判据，将式（3-2）代入式（5-19）中可得到
岩石断裂与损伤
在破坏面上，由于sin（2β）=cosψ，cos（2β）=-sinψ，则 Mohr Coulomb准则可写为
岩石断裂与损伤
在式（5-28）中，令
岩石断裂与损伤
则可以得到Ⅰ-Ⅱ型裂纹的断裂判据为
岩石断裂与损伤
对于纯Ⅰ型断裂，即当KⅡ=0，根据最小J2理论可以求得纯Ⅰ型裂纹的起裂角为θ0=0°，则可以确定纯Ⅰ型断裂的断裂韧度KⅠC为
岩石断裂与损伤
式中：r为研究点到裂纹尖端的距离。对于纯Ⅱ型断裂，即当KⅠ=0，根据最小J2理论可以求得纯Ⅱ型裂纹的起裂角为θ0=-83.6026°，则可以确定纯Ⅱ型断裂的断裂韧度KⅡC为
岩石断裂与损伤
根据式（5-32）和式（5-33）则可以得到KⅡC/KⅠC的值：
岩石断裂与损伤
由式（5-34）可知，岩石的材料参数泊松比μ和内摩擦角ψ的值对KⅡC/KⅠC的值有一定的影响，而岩石的其他力学参数对KⅡC/KⅠC的值没有影响。当岩石的材料参数泊松比μ=0时，则
岩石断裂与损伤
这与最大周向应力准则得到的KⅡC/KⅠC=0.866比较接近。如果纯Ⅱ型断裂问题的起裂角采用最大拉应力断裂准则得到的起裂角θ0=-70.53°，则可以得到KⅡC/KⅠC的值：
岩石断裂与损伤
当岩石的材料参数泊松比μ=0时，则
岩石断裂与损伤
这与最大周向应力准则得到的KⅡC/KⅠC=0.866是相等的。
当岩石材料的泊松比不为0时，KⅡC/KⅠC受到泊松比μ和内摩擦角ψ取值的影响，泊松比μ和内摩擦角ψ与KⅡC/KⅠC的关系非常复杂。
2.基于Drucker-Prager准则的断裂判据
对于岩石中的复合型裂纹，将式（3-2）代入式（5-23）可以计算得到应力张量第一不变量I1和应力偏量第二不变量J2为
岩石断裂与损伤
此外，还必须知道岩石裂纹的起裂角θ0，起裂角的具体数值决定于加载方式和KⅠ与KⅡ比值。根据就可以得到岩石断裂的判据。在式（5-38）中，令
岩石断裂与损伤
则有
岩石断裂与损伤
式中：r为研究点到裂纹尖端的距离。根据式（5-22）、式（5-38）、式（5-39）、式（5-40）可以得到岩石的断裂判据为
岩石断裂与损伤
设岩石的力学参数为：c=25MPa，ψ=41°，按照式（5-22）可以得到：α=0.32，k=27.8846，Ⅰ型断裂的断裂韧度为：KⅠC=1.26MPa·m1/2。将各参数代入式（5-41）中，可以得到断裂判据为
岩石断裂与损伤
对于纯Ⅰ型断裂，即当KⅡ=0，根据最小J2 理论可以求得纯Ⅰ型裂纹的起裂角为θ0=0°，则可以确定纯Ⅰ型断裂的断裂韧度KⅠC为
岩石断裂与损伤
对于纯Ⅱ型断裂，即当KⅠ=0，根据最小J2理论可以求得纯Ⅱ型裂纹的起裂角为θ0=-83.6026°，则可以确定纯Ⅱ型断裂的断裂韧度KⅡC为
岩石断裂与损伤
根据式（5-43）、式（5-44）则可以得到KⅡC/KⅠC的值：
岩石断裂与损伤
由式（5-45）可知，Drucker Prager准则中的参数α对KⅡC/KⅠC的值有一定的影响，而α的值又取决于岩石的内摩擦角ψ，α与ψ的关系已由式（5-22）给出。式（5-45）表明，黏聚力c对KⅡC/KⅠC的值并没有影响。
代入α与ψ的关系式，可以得到KⅡC/KⅠC与ψ的关系式：
岩石断裂与损伤
由式（5-46）可知，KⅡC/KⅠC的大小与内摩擦角ψ的取值大小有关（纯Ⅱ型裂纹的起裂角θ0认为是某个定值时），而与岩石的其他力学参数都没有关系。内摩擦角ψ和KⅡC/KⅠC的关系如图5-12所示。由图可知，KⅡC/KⅠC随着内摩擦角ψ的增大而增大，两者呈非线性关系。
如果对式（5-46）采用最大拉应力断裂准则得到的起裂角θ0=-70.53°，则可以得到KⅡC/KⅠC的值：
岩石断裂与损伤
当内摩擦角ψ=0°时，KⅡC/KⅠC=0.866，这与最大周向应力准则得到的KⅡC/KⅠC值也是相等的。
图5-12 内摩擦角ψ和KⅡC/KⅠC的关系曲线
如果认为纯Ⅱ型断裂问题的起裂角是变化的条件下，KⅡC/KⅠC与纯Ⅱ型断裂问题的起裂角也有一定关系，但纯Ⅱ型断裂问题的起裂角只受到泊松比μ变化的影响。结合以上断裂韧度的计算结果表明，纯Ⅱ型裂纹的断裂韧度KⅡC与纯Ⅰ型裂纹的断裂韧度KⅠC的比值只与泊松比μ和内摩擦角ψ有关系，而与其他岩石力学参数没有关系。