如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l

Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C。（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC= ，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围。

Answer 1

解：（1）AB=AC， 理由如下：连接OB， ∴AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90 °， ∵OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r， 又∵PC= ， ∴ 由（1）AB=AC得 ，解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， ∴∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA。 ∴ ，即 ，解得 ； （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN， 则OE= AC= AB= ， 又∵圆O要与直线MN交点， ∴OE= ≤r ∴r≥ 又∵圆O与直线l相离， ∴r＜5， ∴⊙O的半径r的取值范围为 ≤r＜5。