24．（本题10分）28.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

Question

24．（本题10分）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中，
（1） 如图2，当 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当 时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 时，EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.
（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

Answer 1

（2008•徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°
操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
探究一：在旋转过程中，
（1）如图2，当$\frac{CE}{EA}={1}$时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并给出证明．
（2）如图3，当$\frac{CE}{EA}={2}$时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由．
（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当$\frac{CE}{EA}=m$（6）时，EP与EQ满足的数量关系式
为 1：m，其中m的取值范围是 0≤m≤2+$\sqrt{6}$．（直接写出结论，不必证明）
探究二：若，AC=30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．
（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S值的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；三角形的面积；旋转的性质．专题：探究型．分析：探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；
（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．
探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；
（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．解答：解：
探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，根据两个角对应相等，得
△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
（3）

过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），
∴∠MPE=EQN（等量代换），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），
∴$\frac{EP}{EQ}=\frac{ME}{EN}$（两个相似三角形的对应边成比例）；
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴$\frac{CE}{EA}=m=\frac{ME}{EN}$
∴$\frac{EP}{EQ}=m=\frac{AE}{CE}$，EP与EQ满足的数量关系式为1：m，
∴0≤m≤2+$\sqrt{6}$；（当m＞2+$\sqrt{6}$时，EF与BC不会相交）．

探究二：（1）设EQ=x，则S=$\frac{1}{4}$x2，
所以当x=10$\sqrt{2}$时，面积最小，是50；
当x=10$\sqrt{3}$时，面积最大，是75．

（2）当x=EB=5$\sqrt{10}$时，S=62.5，
故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；
当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．

Answer 2

解：
探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，根据两个角对应相等，得
△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
（3）

过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），
∴∠MPE=EQN（等量代换），
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），
∴ （两个相似三角形的对应边成比例）；
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴
∴ ，EP与EQ满足的数量关系式为1：m，
∴0≤m≤2+ ；

探究二：（1）设EQ=x，则S= x2，
所以当x=10 时，面积最小，是50；
当x=10 时，面积最大，是75．

（2）当x=EB=5 时，S=62.5，
故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；
当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．

Answer 3

(1)连接BE。
E是AC中点，ABC是等腰直角三角形，
所以BE⊥AC且BE是∠ABC的平分线且AE=BE=CE
所以∠BEC= ∠PEQ=90°，∠PBE=45°
所以∠QEC=∠BEC-∠BEQ=∠PEQ-∠BEQ=∠PEB
又因为∠PBE=45°=∠QCE
所以三角形PBE∽三角形QCE
所以PE/QE=BE/CE=1
所以PE=QE
(2)过E点做B'E⊥AC交AB于B‘
因为∠B’AE=45° ∠B'EA=90°
所以三角形B'EA是等腰直角三角形
所以B'E=AE
因为∠B'EC=90°=∠PEQ
所以∠QEC=∠B'EC-∠B'EQ=∠PEQ-∠B'EQ=∠PEB'
又因为∠PB’E=45°=∠QCE
所以三角形PB‘E∽三角形QCE
所以PE/QE=B’E/CE=AE/CE=1/2
(3)当CE/EA=m时,PE/QE=1/m m的取值范围是2+√6≥m>0 (当m>2+√6时，EF与BC不会相交)

Answer 4

探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得
BE=CE，∠PBE=∠C，
又∠BEP=∠CEQ，
则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，根据两个角对应相等，得
△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；
（3）

过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，
∴∠EPB+∠EQB=180°，
又∵∠EPB+∠MPE=180°
∴∠MPE=EQN
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ
∴
在Rt△AME∽Rt△ENC
∴
∴ ，EP与EQ满足的数量关系式为1：m，
∴0≤m≤2+ ；

探究二：（1）设EQ=x，则S= x2，
所以当x=10 时，面积最小，是50；
当x=10 时，面积最大，是75．

（2）当x=EB=5 时，S=62.5，
故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；
当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个

Answer 5

。。第三问应该少一个条件是CE/AE=2.。。我今天也在做这一题啊
。。同病相怜啊。。