AB三角形ABC,角C为90度,AC=BC,E为AC的中点,F为BC的点,求证DG垂直于AG.

AB三角形ABC,角C为90度,AC=BC,E为AC的中点,F为BC的中点,连接AF并延长AF到G使AF=FG,连接EB并延长EB到D使EB=BD,求证DG垂直于AG.

推荐答案 2008-10-12

请你按我所说的一边画图一边看
第一种方法.....：
你要考虑到，三角形的中心是三个中线的三分点.
即计AF交BE于I的话,AI=2FI=2/3AF,同样的BI=2IE=2/3BE.
那么知道.ID=5/3BE,IG=4/3AF
作BT//DG交AG于T,所要证的就是BT垂直于FT.
已知角C为90,那么就是求证ABTC四点共圆,如果不能按共圆理解你也可以理解为求证三角形ACF相似于三角形BTF. (其实是一个意思)
这两个三角形有对顶角,相等.下面证明AF/BF=CF/TF
即AF*TF=CF*BF. 由这两个条件可以推出上面说的2个三角形相似,也就推出了结论.
下面计算证明这个条件成立.
设原来三角形ABC的三遍为a,b,c, abc分别为点ABC对的边.
那么BF=CF=a/2.AT=根号下(b^2-1/4a^2)
由我上面说说的中点的特性和题设,可以知道TF=1/5AT
所证都就等价于1/4a^2=1/5AT^2
即等价于a=b,而a=b是已知题设,得证.

第二中方法:
其实第一种方法是在我一开始没有看到条件AC=BC的时候做的....
一样如上所述连接各点做辅助线,设辅助点.
因为AC=BC,这是等腰直角三角形.很多全等很容易证了.
易知,AF=BE=5TF=[(根号5)/2]*a. a=b=(根号2)*c
求证简单的很,其实还是上面解法的思路,不过很早就代入了a=b的条件.

第一种解法可以解决这个题的另外一种提法,即一开始不告诉你AC=BC.让你求AG垂直于DG的充要条件,因为我给的证明是步步充要的,所以答案就可知了.

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