二元函数到底是二维的还是三维的？书上写二元函数是一张曲面，怎么后面讲到一元向量值函数又变成R^3

Question

就是三元函数是是三维的了？？？？想不明白

Answer 1

其实到底是几维是自己决定的吧，比如x=1,我们就这样看这个式子，他表示x的值是1，若要画出它的图形，只需要一根坐标轴就行，即画好一维的坐标轴后，在坐标为1的地方画一个点；同时我们也可以在二维的平面直角坐标系x_o_y里画出x=1的图形，它表示一条垂直于x轴的一条直线，并且该直线与x轴的交点在(1,0)处；此外，我们也可以在空间直角坐标系里画出x=1的图形，它表示一个与x轴垂直的平面，垂足为点(1,0,0)；以此类推，我们其实也可以在更高维的空间里画出x=1的图像，只是限于人类目前的认知，我们无法直观地看到三维以上的空间形态。
同理，你这里的二元函数，它的表示形式是z=f(x,y),当z被固死为常数时(如4=x²+y²)，整个表达式中只有两个变量，它可以表示在二维平面上的曲线或者区域(当对应关系中存在＞，＜，≥，≤等关系时)，同时也可以表示三维空间中的曲面或者空间区域。当z没有被固死时，z=f(x,y)中有两个自变量和一个因变量，总共3个变量，因此它只能在三维及以上的空间内画出图形。综上所述，当表达式中变量的个数为n个时，则可以在n维及其以上的空间内表示出来，但不能低于n维，至于具体需要用多少维来描述，那就看你的具体需求了。

Answer 2

详情见图。向量值函数与三元函数还是有所区别的，看下图，这样的向量值函数没必要在R^4上讨论，f确定的是一个实数轴到R^3空间的映射，就算把定义域和值域一起放到R^4考虑，也不过是一个点对应一个点，不像二元函数，值域一个点可能对应着一些点集，所以还不如讨论书上所说的终端曲线。

追答

个人理解，不太专业，说的不对的地方轻喷，欢迎指正错误

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Answer 3

二元函数可以是三维的，也可以是二维的，说是三维的，比如说z＝x²＋y²就是以z轴为母线，圆为准线的圆柱面；说是二维，比如二元隐函数F(x，y)=0，反正就是两个自变量，一个因变量，定义域是二维的
一元向量值函数说白了还是一元函数，只不过自变量不是实数，是向量，向量不是三维的吗，所以定义域是三维的，按实数分他应该是三元函数

Answer 4

二元函数z=f(x,y)：
二维——把z看作关于x、y的密度函数，几何含义是平面薄板，积分运算可求薄板质量；
三维——把z看作关于x、y的坐标函数，几何含义是空间曲面；
三维——把z看作关于x、y的高度函数，几何含义是曲顶柱体，积分运算可求曲顶柱体的体积；
三元函数u=f(x,y,z)：
三维——把u看作关于x、y、z的密度函数，几何含义是空间物体，积分运算可求物体质量；
四维——四维空间理解有限，一般是三维物体加时间维度
总之，不能简单的从函数的“元”数判几何的“维”数，还是要具体分析是什么性质的函数，才能得出它的几何含义

Answer 5

平面是二维，因为二维坐标维就可描述平面内的点的位置。曲面则是三维，必须用三维坐标系才能描述曲面上的点的位置。