协方差计算公式怎么推导的

Question

协方差定义为COV（X,Y)=E{[X-E(X)]}{[Y-E(Y)]}，书上推导出来的公式是COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，请问是如何推出来的

Answer 1

均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合的均值都是10，但显然两个集合差别是很大的，计算两者的标准差，前者是8.3，后者是1.8，显然后者较为集中，故其标准差小一些，标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。

Answer 2

假设c是常数，x,y是随机变量，那么数学期望E有以下的一些性质E(c)=cE(x+c)=E(x)+cE(cx)=cE(x)E(x+y)=E(x)+E(y)所以E{[X-E(X)]}{[Y-E(Y)]}=E{xy-xE(y)-yE(x)+E(x)E(y)}=E(xy)-E(x)E(y)-E(x)E(y)+E(x)E(y)=E(xy)-E(x)E(y)