二阶导数大于0的曲线为什么是凸的? 较严格的提法是:二阶导数大于0的曲线是向下凸的,或者说是向上凹的。曲线的弦与弦所夹的弧围成的弓形是凸形。 如果这么定义曲线的凸性:曲线的任意弦不与曲线相交于第三点。那么楼主提法在这个意义上就是正确的。 这个事实直观上可以这么理解:二阶导数反映的是一阶导数的变化率,其恒大于0说明一阶导数是恒增的,即曲线的
切线斜率是递增的,也就是说曲线的切线沿曲线从左到右滑动时呈单向(逆时针)旋转,没有摆动现象,所以曲线的弓形是凸形。 简单的证明(
反证法):如果曲线的弦AB与曲线相交于不同于弦端A、B的C点,那么根据
罗尔定理,在弧AC与弧BC上各存在一条与弦平行的切线,这与切线斜率单调递增相矛盾。
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