高等数学题目求解.. 一道隐函数、复合函数的微分的题

Question

如果根据复合函数偏导的链式法则，分出F对y和t的偏导，y又分出对x和t的偏导，但t又等与t(x,y), 这又出现了对y的偏导，换句话说就是出现了一个环......到底该怎么做啊？
换句话，什么情况下求偏导时把变量看成一个常量，什么时候看成变量而使用链式法则啊？
这是答案......

我错了各位....多谢各位....老师说这个答案是错的......-.-||

Answer 1

得到环是正常的，关键是要明白构成环的这几个函数以及偏导数之间是什么样的关系。
现在有两个方程t=t(x,y)与y=f(x,t)，两个方程联立得到一个只有变量x,y的方程y=f(x,t(x,y))，在一定条件下，此方程可以确定一元隐函数y=y(x)，题目要求的就是这个隐函数的导数。
把这个方程带回t=t(x,y)得出结论：t是x的一元函数。
求dy/dx，则在y=f(x,t)两边对x求导：dy/dx=fx+ft×dt/dx。在F(x,y,t)=0两边对x求导，得Fx+Fy×dy/dx+Ft×dt/dx=0。两个式子联立消去dt/dx即得dy/dx追问

恩....如果三个函数对三个变量的偏导都是已知量的话，只用一个y=f(x,t(x,y))就可以算出结果了？加上t=t(x,y)又可以以另一种形式写出结果？再加上F又是一种？结果可以是很多种？？

追答

其中t=t(x,y)与F(x,y,t)=0是一回事，两个写法而已。
这个题目完全就是两个函数、三个变量的方程组确定的隐函数的导数问题，这个在高数教材上都有详细的介绍与例题，套公式也行，直接求也行。
我再给你分析一下吧：方程组F(x,y,t)=0，y=f(x,t)里面有三个变量，两个函数，根据隐函数的存在定理，这个方程组可以确定两个一元隐函数，既然题目要求dy/dx，也就是自变量选为x了，y是一个因变量，剩下的t自然也是因变量了。
现在用直接求导的方法，两个方程两边都对x求导：
F1＋F2×dy/dx＋F3×dt/dx=0
f1＋f2×dt/dx＝dy/dx
消去dt/dx即可得dy/dx＝(f1×F3－F1×f2)/(F2×f2＋F3)。
我认为你给出的答案并不好，不管对错，题目告诉我们的是f,F可微，这是已知的函数，而t=t(x,y)想必其具体解析式未必可知(可能只是说明了t=t(x,y)这样的隐函数存在)，最后的答案用f,F的偏导数表示才是正解。你的答案中的t1,t2还可以用F的偏导数表示，有进一步化简的空间。

Answer 2

首先注意的关系：F？？的x，y，t的函数，t为X，和y的函数，y是x的一个函数，吨，这些都可以被看作是一个函数的x /> F（X，Y，T）= 0，双方x的导数得到了
（DY / DX）F1 + F2 + F3（DT / DX）= 0
?=函数f（x，t）在两侧的x推导是：
DY / dx的=为f1 + f2的（dt的/ dx的）（*）
在t = t中（的x，y）的两侧的x推导为：
dt的/ dx的=的t1 + t2的（DY / dx）上
：F2（DY / dx的）+ F3（dt的/ dx的）=-F1
t2的（DY / dx的） - （dt的/ dx的）=-t1的
解决方案：dt的/ dx的=（t1F2 t2F1）/（F2 + t2F3）
入（*）：年/ dx的=为f1 + f2的（ t1F2 t2F1）/（F2 + t2F3）

Answer 3

先注意关系：F是x,y,t的函数，t是x,y的函数，y是x,t的函数，这些全都可以看成是x的函数
在F(x,y,t)=0两边对x求导得：
F1+F2(dy/dx)+F3(dt/dx)=0
在y=f(x,t)两边对x求导得：
dy/dx=f1+f2(dt/dx) (*)
在t=t(x,y)两边对x求导得：
dt/dx=t1+t2(dy/dx)
由：F2(dy/dx)+F3(dt/dx)=-F1
t2(dy/dx) -(dt/dx)=-t1
解得：dt/dx=(t1F2-t2F1)/(F2+t2F3)
代入(*)：dy/dx=f1+f2(t1F2-t2F1)/(F2+t2F3)追问

额...话说通过倒数3、4行不就已经能把dy/dx弄出来了么....（额...话说答案是错的...抱歉...）

追答

从道理上讲，这个答案并没错，只是有点麻烦。
从F1+F2(dy/dx)+F3(dt/dx)=0
dy/dx=f1+f2(dt/dx)
这两个方程联立，可以直接解出dy/dx。