如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一

Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2) 若∠BOC=120°.①将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）；②将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

（1）已知∠AOC=60°， ∴∠BOC=120°， 又OM平分∠BOC， ∠COM= ∠BOC=60°， ∴∠CON=∠COM+90°=150°； （2）延长NO， ∵∠BOC=120° ∴∠AOC=60°， 当直线ON恰好平分锐角∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=30°， 即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC， 由题意得，10t=300° ∴t=30， 当NO平分∠AOC， ∴∠NOR=30°， 即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC， ∴10t=120°， ∴t=12， ∴t=12或30； （3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°， ∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON， ∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°， 所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解； （3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．