|A|=0，A为n阶矩阵，求证：存在非零方阵B,使得AB=BA=0

Question

详细证明过程，谢谢~

Answer 1

可以这么证：

设A是N×N的方阵。

首先，存在非零列向量X（NX1），满足AX=0，因为A不满秩。
其次，存在非零列向量Y（N×1），满足A（T）Y=0，因为A（T）也不满秩（T代表矩阵转置）。

然后，考虑这个方阵B=X*Y(T)（X乘以Y的转置）。

首先它是非零方阵（N×N），因为X和Y都是非零向量，所以X里至少有某个非零的X(i)，Y里至少有某个非零的Y(j)，因为B的第i行第j列值是X(i)*Y(j)，就必定非零，所以B确实是个非零方阵。

而且

AB=AX*Y(T)=0*Y(T)=0。
BA=XY(T)*A=X*(A(T)*Y)(T)=X*0(T)=0。

证明完毕。追问

好佩服，我做了好久都没想到要这样•﹏•

Answer 2

|A|=0说明R(A)<n，则方程AX=0存在非零解。另X=B为该非零解。则即得证AB=0
既然B是非零解。R（A）=R（B）< n，则推出|B|=0，同理BX=0，推出非零解X=A，即得证BA=0;

Answer 3

一介导数