对角矩阵的性质

Question

如题所述

Answer 1

对角矩阵的性质如下：

求出一个矩阵的全部互异的特征值a1。a2。对每个特特征值，求特征矩阵a1I-A的秩。当可以相似对角化时，对每个特征值，求方程组，（aiI-A）X=0的一个基础解系。

一、对角矩阵

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。

对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

二、对角矩阵的性质

1、对角矩阵是一个方阵，即行数和列数相等。

2、对角矩阵的主对角线上的元素都不为零，而其他元素都为零。

3、对角矩阵的逆矩阵也是一个对角矩阵，其主对角线上的元素是原矩阵主对角线上元素的倒数。

4、对角矩阵的行列式等于其主对角线上元素的乘积。

5、对角矩阵的特征值等于其主对角线上元素。

三、推论和说明

1、推论：若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

2、说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

主对角线上方元素都为零的方阵，称为下三角阵。对角阵既是上三角阵，又是下三角阵。矩阵的对角线有许多性质，如做转置运算时对角线元素不变、相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹)不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量，而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。