概率论与数理统计题: 证明:若X与Y相互独立,则D(X+Y))=D(X)+D(Y)

Question

如题所述

Answer 1

不一定独立。因为d(x+y)=d(x-y)等价于e(xy)=e(x)*e(y),这是不相关的充要条件，在概率论中，不相关是不一定独立的（如二维均匀分布就有这种例子，你自己可以算一下）。

Answer 2

设Z = X + Y
E(Z)=E(X)+E(Y)
方差的定义：D(Z) = E{(Z-E(Z))²}

D(Z) = D(X+Y) = E{(X+Y)² - (E(X)+E(Y))²} = E(X² - E²(X)) + E(Y² - E²(Y))+
+ E(2XY) - 2E(X) E(Y) = D(X) + D(Y) + 0
即： D(X+Y) = D(X) + D(Y)
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