几何级数，或者等比数列的代数含义？收敛发散什么的不太明白，高手指教

Question

例如：1=1； 1=1-a+a-a^2+a^2-a^3+a^3+.........-a^n+a^n;
1=(1-a)+a(1-a)+a^2(1-a)+.......;
1/1-a=1+a+a^2+a^3+a^4+.......;
当a=1/2 时，表示右边的值极限为2，
那如果a=10时，这个代数式有什么含义？-1/9=1+10+100+1000+......???不太明白

Answer 1

a=10时，右边发散
根据等比级数求和：1+a+a²+……=(1-a^n)/(1-a)
当|a|<1时，a^n在n趋于无穷时才为0，右边等于1/(1-a)
级数的收敛是有区域限制的追问

根据代数式的转换，好像看不出错误来，这是为什么？

追答

因为那个代数式成立是需要条件的，只在|a|<1时才成立
a=10当然不对了

追问

从第一步推导开始，从哪一步开始a的绝对值必须小于1？别从数列的角度说，只是纯粹的代数式上说，我也知道等比数列的收敛性质；

追答

∵从代数式的第二步到第三步，应该是
1=(1-a)+a(1-a)+……+a^(n-1)(1-a)+a^n
1/(1-a)=1+a+……+a^(n-1)+a^n/(1-a)
这样代入任何有意义的a，等式都成立
你从第三步将有限长数列扩展到无限长，是要有条件的，就是数列要收敛，必要条件n->无穷，an->0