求函数u=xyz在条件x+y+z=5,xy+yz+zx=8下的极值

Question

如题所述

Answer 1

解：x+y=5-z， xy=8-(x+y)z=8-(5-z)z=z²-5z+8
x、y是A²-（5-z)A+(z²-5z+8)=0的两根
∵⊿=25-10z+z²-4z²+20z-32≥0
∴1≤z≤7/3
∵u=xyz=(z²-5z+8)z=z³-5z³+8z
∴u′=3z²-10z+8=0得，z1=4/3 z2=2
∵u′﹥0得，单调增区间z∈[1,4/3]∪[2,7/3]
u′<0得，单调减区间z∈[4/3.2]
∴当z=4/3时，u极大=（4/3)³-5(4/3)²+8*4/3=112/27
z=2时，u极小=2³-5*2²+8*2=4