平衡二叉树算法时间复杂度分析与优点

Question

如题所述

Answer 1

平衡二叉树的时间复杂度是log(n)，如果二叉树的元素个数为n，那么不管是对树进行插入节点、查找、删除节点都是log(n)次循环调用就可以了。它的时间复杂度相对于其他数据结构如数组等是最优的。

Answer 2

平衡二叉树（AVL）

那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：

图 2 可以看到以下特性：

1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；

2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）；（6）>（5）；（10）>（9）；

3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；

4. 每个节点都符合以上三个特征。

满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。

问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？

由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)

如果节点非常多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：

图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。