积分学部分: 求∫ 1√2-x^2 dx 在0-1之间的积分 ... 求高手秒答
积分学部分: 求∫ 1√2-x^2 dx 在0-1之间的积分 ... 求高手秒答
我知道是圆 但知道一半不知道一半 求高手解释!!!!!!
这被积函数描述的是x² + y² = 2，半径√2
如果积分限是由 0 积分 到 √2 的话，就可以用几何意义了
即∫(0→√2) √(2 - x²) dx = (1/4)(π * (√2)²) = π/2
如果被积函数是√(1 - x²)的话，描述的是x² + y² = 1，半径1
那么亦可用几何意义得∫(0→1) √(1 - x²) dx = (1/4)(π * (1)²) = π/4
所以要用几何意义求的话首先要看这圆的半径和积分限是否配合。
但你这题偏偏两种情况都不是。
于是不用几何意义了，而是直接用第二换元法：
被积函数是√(a² - x²)的形式，用换元x = asinθ以消除根号
于是设x = √2sinθ，dx = √2cosθ dθ、两边微分，x² = 2sin²θ
当x = 0时√2sinθ = 0 ==> θ = 0
当x = 1时√2sinθ = 1 ==> sinθ = 1/√2 ==> θ = π/4
所以∫(0→1) √(2 - x²) dx
= ∫(0→π/4) √(2 - 2sin²θ) (√2cosθ dθ)
= ∫(0→π/4) √[2(1 - sin²θ)] (√2cosθ dθ)
= ∫(0→π/4) 2cos²θ dθ
= ∫(0→π/4) (1 + cos2θ) dθ
= [θ + (1/2)sin2θ] |(0→π/4)
= π/4 + (1/2)sin(2 * π/4)
= 1/2 + π/4
这积分所表示的几何面积是这样的，面积还小于1/4圆呢
令y=√2-x^2
即x²+y²=1，x属于0-1，y＞0
即积分的图形是圆，且为第一象限范围的圆，即为圆的1/4部分
即面积为1/4πr²=1/4π（√2）²=1/2π追问
这题目是这样 ∫ √(2-x^2) dx .. 刚写错了 呃 .. 答案是π/4+1/2 ... 各种不明白
追答那里来的1/2
只有π/4
我也是这么认为 .. 我自己也算到π/4 但答案的3种解法都是π/4+1/2 各种雾水
追答除非是求∫ 1+√2-x^2 dx 在0-1之间的积分
∫ 1+√2-x^2 dx =∫ 1 dx +∫√2-x^2 dx =1/2+π/4
答案这样写 根据定积分的几何意义知 ∫ √(2-x^2) dx=1/8π(√2)^2+1/2*1*1=1/2+π/4
∫ √(2-x^2) dx 是这样 写错了