今天考高数，在线等，广义积分

Question

如题所述

Answer 1

∫[2,+∞]dx/[x(lnx)^p]
=lim[A-->+∞]∫[2,A]dx/[x(lnx)^p]
=lim[A-->+∞]1/(1-p)(lnx)^(1-p)
=lim[A-->+∞]1/(1-p)[(lnA)^(1-p)-(ln2)^(1-p)]

当p>1时，广义积分收敛，收敛于-(ln2)^(1-p)/(1-p)；
当p<1时，广义积分发散；
当p=1时，∫[2,+∞]dx/[x(lnx)^p]=lim[A-->+∞](lnlnA-lnln2)，发散；

[-(ln2)^(1-p)/(1-p)]'=[-(1-p)lnln2(ln2)^(1-p)-(ln2)^(1-p)]/(1-p)^2
=-[(1-p)lnln2+1](ln2)^(1-p)]/(1-p)^2
(1-p)lnln2=-1
1-p=-1/lnln2
p=1+1/lnln2 ≈ 0.63348707941834
当p=1+1/lnln2 ≈ 0.63348707941834时，这个广义积分取得最小值。追问

、
lnA)^(1-p）在p>1时候是等于0吗？应该是在p趋近于正无穷大才等于0吧，那么怎么它就收敛了，谢谢

追答

p是参数，给定值后并不改变。若它大于1，A-->+∞时，积分值收敛。不是p趋近于正无穷大。改变的是积分上限A,不要搞错了。